2019-江苏卷-19 解-导数零点

本题导读

本题考查导数的运算与零点。核心在于待定系数法、列表分析法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年江苏卷）设函数 $f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)$，$a,b,c\in \mathbb{R}$，$f^{\prime }(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数。

(1)若 $a=b=c$，$f(4)=8$，求 $a$ 的值；

(2)若 $a\ne b$，$b=c$，且 $f(x)$ 和 $f^{\prime }(x)$ 的零点均在集合 $\{-3,1,3\}$ 中，求 $f(x)$ 的极小值；

(3)若 $a=0,0<b\le 1,c=1$，且 $f(x)$ 的极大值为 $M$，求证：$M\le \frac{4}{27}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：$a=b=c$ 时，$f(x)=(x-a{)}^3$，代入 $f(4)=8$ 直接解方程。
2. 第二问：$b=c$ 时，$f(x)=(x-a)(x-b{)}^2$。

• 求导得到 $f^{\prime }(x)$，找出其零点表达式。
• 根据“零点均在 $\{-3,1,3\}$ 中”这一约束，通过分类讨论或代入验证确定 $a,b$ 的具体值。
• 列表分析单调性，确定极小值点并计算。

3. 第三问：

• 确定极大值点：当 $a=0,c=1$ 时，$f(x)=x(x-b)(x-1)$。求导求出极大值点 $x_1$。
• 放缩法（解法二）：观察到当 $x\in (0,1)$ 时，$x-b\le x$（因 $b>0$ 不成立，应考虑 $x-b\le x$ 也不对）。
• 核心逻辑：由于 $0<b\le 1$，对于 $x\in (0,b)$，$f(x)>0$。在该区间内，$f(x)=x(x-b)(x-1)=x(b-x)(1-x)$。
• 因为 $x-b\ge x-1$，可以构造一个不含参数 $b$ 的上界函数 $g(x)=x(1-x{)}^2$，通过证明 $f(x)\le g(x)$ 并求出 $g(x)$ 的最大值来完成证明。

✅【答案】

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(1)$a=2$。

(2)极小值为 $-32$。

(3)证明见解析。

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： 因为 $a=b=c$，所以 $f(x)=(x-a{)}^3$。 由 $f(4)=8$ 得 $(4-a{)}^3=8$， 解得 $4-a=2$，即 $a=2$。

(2)解： 因为 $b=c$，所以 $f(x)=(x-a)(x-b{)}^2$。 求导得：$f^{\prime }(x)=(x-b{)}^2+2(x-a)(x-b)=(x-b)(3x-2a-b)$。 令 $f^{\prime }(x)=0$，得零点为 $x=b$ 或 $x=\frac{2a+b}{3}$。 由题意，$a,b,\frac{2a+b}{3}\in \{-3,1,3\}$ 且 $a\ne b$。 若 $b=1$，则 $\frac{2a+1}{3}\in \{-3,3\}$，解得 $a=-5$ 或 $a=4$（均不在集合内）。 若 $b=-3$，则 $\frac{2a-3}{3}\in \{1,3\}$，解得 $a=3$（满足）或 $a=6$（不满足）。 此时 $a=3,b=-3$，符合题意。 此时 $f(x)=(x-3)(x+3{)}^2$，$f^{\prime }(x)=3(x+3)(x-1)$。 列表：

$x$	$(-\infty ,-3)$	$-3$	$(-3,1)$	$1$	$(1,+\infty )$
$f^{\prime }(x)$	+	0	-	0	+
$f(x)$	$\nearrow$	极大值	$\searrow$	极小值	$\nearrow$
所以极小值为 $f(1)=(1-3)(1+3{)}^2=-2\times 16=-32$。

(3)证明： 当 $a=0,c=1$ 时，$f(x)=x(x-b)(x-1)$，$0<b\le 1$。 当 $x\in (0,b)$ 时，$x>0,x-b<0,x-1<0$，故 $f(x)>0$。极大值 $M$ 必在 $(0,b)$ 内取得。 由于 $b\le 1$，对于 $x\in (0,b)$，有 $0<b-x\le 1-x$。 则 $f(x)=x(b-x)(1-x)\le x(1-x)(1-x)=x(1-x{)}^2$。 设 $g(x)=x(1-x{)}^2,x\in (0,1)$。 求导：$g^{\prime }(x)=(1-x{)}^2+x\cdot 2(1-x)(-1)=(1-x)(1-x-2x)=(1-x)(1-3x)$。 令 $g^{\prime }(x)=0$，在 $(0,1)$ 内得 $x=\frac{1}{3}$。 当 $x\in (0,\frac{1}{3})$ 时，$g^{\prime }(x)>0,g(x)\nearrow$； 当 $x\in (\frac{1}{3},1)$ 时，$g^{\prime }(x)<0,g(x)\searrow$。 故 $g(x)$ 的最大值为 $g(\frac{1}{3})=\frac{1}{3}(1-\frac{1}{3}{)}^2=\frac{1}{3}\cdot \frac{4}{9}=\frac{4}{27}$。 因为 $M$ 是 $f(x)$ 在 $(0,b)$ 上的极大值，而对于该区间内任意 $x$ 均有 $f(x)\le g(x)\le \frac{4}{27}$， 所以 $M\le \frac{4}{27}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 三次函数的图像特征：三次项系数为正时，图像基本形状为“N”型。若有三个零点 $a<b<c$，极大值点在 $(a,b)$ 之间，极小值点在 $(b,c)$ 之间。
2. 放缩法的精髓：在证明不等式时，如果直接处理带参的极值表达式（如解法一）非常繁琐，通过构造一个“更强”但“更简单”的函数 $g(x)$ 来覆盖原函数，是处理压轴题的高阶技巧。
3. 集合限制条件：第二问通过集合成员身份反推参数，考查了穷举与逻辑排除的能力。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以补充：

• 如果 $f^{\prime }(x)=0$ 的根无法直接求出，设根为 $x_0$，利用 $f^{\prime }(x_0)=0$ 构建关于参数的等量关系进行代换化简。
• 三次函数对称性：三次函数的图像关于拐点（二阶导数为 0 的点）中心对称。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2014-天津卷文-20 解-集合新定义
• 2008-山东卷文-21 解-三次型函数极值与大小比较
• 2010-安徽卷文-20 解-三角函数导数单调极值