2019-浙江卷-05 单-充分必要条件

本题导读

本题考查充分条件与必要条件的判断，以及基本不等式。

📌【题干】

Question

（2019年浙江卷）若 $a>0,b>0$，则“$a+b\le 4$”是“$ab\le 4$”的()

A. 充分不必要条件　　　　　　　　　　B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

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1. 判断充分性（前推后）：已知 $a+b\le 4$，能否一定推出 $ab\le 4$？利用基本不等式 $a+b\ge 2\sqrt{ab}$ 作为桥梁进行放缩即可证明。
2. 判断必要性（后推前）：已知 $ab\le 4$，能否一定推出 $a+b\le 4$？此时只要能找到一组反例（即满足 $ab\le 4$ 但 $a+b>4$ 的特殊值），就能直接否决必要性。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 A

【解析过程】 已知前提条件：$a>0,b>0$。

第一步：判断充分性（由 $a+b\le 4$ 推导 $ab\le 4$） 因为 $a>0,b>0$，根据基本不等式（均值不等式），恒有： $a+b\ge 2\sqrt{ab}$ 既然已知条件给定 $a+b\le 4$，我们可以将这两个不等式联立，得到： $2\sqrt{ab}\le a+b\le 4$ 即 $2\sqrt{ab}\le 4⟹\sqrt{ab}\le 2$。 两边平方（因为 $a,b>0$），得到： $ab\le 4$ 说明由“$a+b\le 4$”确实能推出“$ab\le 4$”，充分性成立。

第二步：判断必要性（由 $ab\le 4$ 推导 $a+b\le 4$） 假设已知 $ab\le 4$。 我们尝试举反例：令 $a=1,b=4$。 此时 $ab=1\times 4=4\le 4$，满足后者的条件。 但是此时 $a+b=1+4=5>4$，并不满足前者的条件 $a+b\le 4$。 （再比如极端一点的反例：令 $a=\frac{1}{2},b=8$，则 $ab=4\le 4$，但 $a+b=8.5>4$）。 说明由“$ab\le 4$”不能必然推出“$a+b\le 4$”，必要性不成立。

综上所述，“$a+b\le 4$”是“$ab\le 4$”的充分不必要条件。

对照选项，正确答案为 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. “证伪”只需一反例：在数学逻辑推导中，要证明一个命题正确，必须经过严密的代数推导；但要证明一个命题错误（推不出来），只需要举出一个反例即可。做充要条件题时，找特殊值是最高效的验证手段。
2. 基本不等式的前提：“一正、二定、三相等”。本题题干开头特意给出了 $a>0,b>0$，这就是在强烈暗示你可以安全地使用基本不等式 $a+b\ge 2\sqrt{ab}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以整理一套判断充要条件的通用法则——“小推大”法则（集合包含关系法）： 设条件 $p$ 构成的集合为 $P$，条件 $q$ 构成的集合为 $Q$。

• 如果 $P\subseteq Q$ 且 $P\ne Q$（即 $P$ 是 $Q$ 的真子集，“小集合”推“大集合”），则 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件。
• 如果 $Q\subseteq P$ 且 $Q\ne P$（即 $Q$ 是 $P$ 的真子集，“大集合”推“小集合”），则 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件。
• 如果 $P=Q$，则两者互为充要条件。 通俗理解：范围越小，条件越苛刻（充分）；范围越大，条件越宽松（必要）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2008-陕西卷文-06 单-充要条件与均值最值
• 2012-湖北卷文-09 单-充要条件与不等式
• 2013-湖南卷文-20 解-椭圆圆弦长最值