2012-湖北卷文-09 单-充要条件与不等式

本题导读

本题考查充分条件与必要条件，以及基本不等式。

📌【题干】

Question

（2012年湖北卷(文)） 设 $a$，$b$，$c\in {\mathbf{R}}^{+}$，则"$abc=1$"是"$\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}⩽a+b+c$"的()

A. 充分条件但不是必要条件　　　　　B. 必要条件但不是充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要的条件

🔍【思路分析】

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$abc=1$ 时 $\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}=\sqrt{bc}+\sqrt{ac}+\sqrt{ab}⩽a+b+c$；反例 $a=b=c=2$ 说明不必要。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

充分性：当 $abc=1$ 时，$\frac{1}{\sqrt{a}}=\sqrt{bc}$，$\frac{1}{\sqrt{b}}=\sqrt{ac}$，$\frac{1}{\sqrt{c}}=\sqrt{ab}$，于是

$\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}=\sqrt{bc}+\sqrt{ac}+\sqrt{ab}⩽\frac{b+c}{2}+\frac{a+c}{2}+\frac{a+b}{2}=a+b+c$，

故由 $abc=1$ 能推出不等式成立。

必要性：取 $a=b=c=2$，左边 $=\frac{3}{\sqrt{2}}\approx 2.12$，右边 $=6$，不等式成立，但 $abc=8$ 不等于 $1$，故不能反推。

综上，"$abc=1$"是"$\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}⩽a+b+c$"的充分条件但不是必要条件，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：$abc=1$ 时 $\frac{1}{\sqrt{a}}=\sqrt{bc}$ 的转化；基本不等式；充分与必要条件的判断

核心方法：充分性用基本不等式放缩证明，必要性举反例否定

避坑指南：转化关键在”$abc=1$ 时倒数即积的平方根”这一步；判断必要方向时，反例只需不等式成立而 $abc$ 不为 $1$ 即可，别试图去解不等式成立的充要范围。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：条件判断与不等式综合题，与 2014 年福建卷理第 6 题、2013 年安徽卷文第 4 题同族。

结论推广：一般地，$abc=1$ 时 $\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}=\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}⩽a+b+c$，当且仅当 $a=b=c=1$ 时取等。

方法推广：“条件是否充分”走证明，“是否必要”找反例；两方向各用一种手段，是最快的判断套路。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2014-福建卷理-06 单-充分条件、必要条件、充要条件
• 2013-安徽卷文-04 单-充要条件方向
• 2013-天津卷理-14 填-利用基本不等式求最值