2019-浙江卷-07 单-分布列

本题导读

本题考查离散型随机变量的分布列，以及数学期望的计算。

📌【题干】

Question

（2019年浙江卷）设 $0<a<1$，则随机变量 $X$ 的分布列是：

$X$	$0$	$a$	$1$
$P$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$

则当 $a$ 在 $(0,1)$ 内增大时，方差 $D(X)$ 的变化情况是()

A. $D(X)$ 增大　　　　　　　　　　　　　　B. $D(X)$ 减小

C. $D(X)$ 先增大后减小　　　　　　　　　　D. $D(X)$ 先减小后增大

🔍【思路分析】

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1. 求数学期望 $E(X)$：根据分布列，将随机变量的取值与其对应的概率相乘并求和，得到关于 $a$ 的一次函数。
2. 求方差 $D(X)$：利用方差的定义式 $D(X)=\sum (X_i-E(X){)}^2{P}_i$ 或计算公式 $D(X)=E(X^2)-E^2(X)$ 将方差表示出来，整理后会得到一个关于 $a$ 的二次函数。
3. 判断单调性：对得到的二次函数进行配方，找出其对称轴所在的位置。结合 $0<a<1$ 的定义域，判断抛物线在该区间内的升降情况。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 D

【解析过程】

步骤 1：计算数学期望 $E(X)$ 根据分布列计算期望： $E(X)=0\times \frac{1}{3}+a\times \frac{1}{3}+1\times \frac{1}{3}=\frac{a+1}{3}$

步骤 2：计算方差 $D(X)$（提供两种方法）

方法一（定义法）： 根据方差定义公式 $D(X)=\sum (X_i-E(X){)}^2{P}_i$： $D(X)={\left(0-\frac{a+1}{3}\right)}^2\times \frac{1}{3}+{\left(a-\frac{a+1}{3}\right)}^2\times \frac{1}{3}+{\left(1-\frac{a+1}{3}\right)}^2\times \frac{1}{3}$ 计算过程较为繁琐，化简后可得（推荐实战中使用方法二）： $D(X)=\frac{2}{9}{\left(a-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{1}{6}$

方法二（公式法 —— 推荐，计算量小）： 利用方差的常用计算公式：$D(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2$。 首先计算 $X^2$ 的期望： $E(X^2)=0^2\times \frac{1}{3}+a^2\times \frac{1}{3}+1^2\times \frac{1}{3}=\frac{a^2+1}{3}$ 然后代入公式： $D(X)=\frac{a^2+1}{3}-{\left(\frac{a+1}{3}\right)}^2=\frac{3a^2+3}{9}-\frac{a^2+2a+1}{9}$ $D(X)=\frac{2a^2-2a+2}{9}$ 对其进行配方： $D(X)=\frac{2}{9}(a^2-a+1)=\frac{2}{9}\left[{\left(a-\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{1}{4}+1\right]=\frac{2}{9}{\left(a-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{1}{6}$

步骤 3：判断函数的单调性 由上述解析式可知，方差 $D(X)$ 是关于变量 $a$ 的二次函数。 该抛物线开口向上，对称轴为 $a=\frac{1}{2}$。 因为已知参数范围为 $0<a<1$，所以：

• 当 $a\in \left(0,\frac{1}{2}\right)$ 时，函数单调递减；
• 当 $a\in \left(\frac{1}{2},1\right)$ 时，函数单调递增。 即当 $a$ 在 $(0,1)$ 内增大时，$D(X)$ 的值先减小后增大。

对照选项，正确答案为 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 方差计算要点：在高考概率统计题中，直接用定义算方差往往会出现较繁的分数平方。可将 $D(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2$ 这个变形公式熟练掌握，能提高计算速度和准确率。
2. 直观的统计学意义理解：方差衡量的是数据的“离散程度”。三个数 $0,a,1$ 出现的概率相同。当 $a=\frac{1}{2}$ 时，三个数 $0,0.5,1$ 间距完全相等且最均匀，此时数据的离散程度最小（方差最小）；当 $a$ 偏向 0 或 1 时，数据发生“拥挤”与“孤立”，离散程度变大。因此，随着 $a$ 从 0 滑向 1，方差必然是先变小到谷底，然后再变大。掌握这个宏观感觉，甚至可以直接得出答案。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以整理一组期望与方差的黄金性质： 设 $X$ 为随机变量，$a,b$ 为常数，则新随机变量 $Y=aX+b$ 满足：

1. 期望的线性性质：$E(aX+b)=aE(X)+b$（乘法和加法都起作用，反映了数据整体的平移和缩放）。
2. 方差的缩放性质：$D(aX+b)=a^{2}D(X)$（加法平移对离散程度毫无影响，但乘法缩放会使得方差变为平方倍！）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征
• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-19 解-分布列
• 2014-四川卷理-17 解-随机变量的分布列
• 2018-浙江卷-07 单-分布列