2019-浙江卷-21 解-抛物线性质

本题导读

本题考查抛物线的标准方程与性质。核心在于设而不求法、坐标分析法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年浙江卷）如图，已知点 $F(1,0)$ 为抛物线 $y^2=2px(p>0)$ 的焦点，过点 $F$ 的直线交抛物线于 $A,B$ 两点，点 $C$ 在抛物线上，使得 $△ABC$ 的重心 $G$ 在 $x$ 轴上。直线 $AC$ 交 $x$ 轴于点 $Q$，且 $Q$ 在点 $F$ 右侧。记 $△AFG,△CQG$ 的面积为 $S_1,S_2$。

(1)求 $p$ 的值及抛物线的准线方程；

(2)求 $\frac{S_1}{S_2}$ 的最小值及此时点 $G$ 的坐标。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：由焦点 $F(1,0)$ 知 $\frac{p}{2}=1$，直接得出 $p$ 和准线。
2. 第二问（关键流程）：

• 设坐标：设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$。
• 利用重心性质：重心 $G$ 在 $x$ 轴上 $⟹y_G=\frac{y_1+y_2+y_3}{3}=0⟹y_3=-(y_1+y_2)$。
• 利用焦点弦性质：直线 $AB$ 过焦点 $F(1,0)⟹y_1{y}_2=-p^2=-4$。
• 表示点坐标：利用 $y^2=4x$ 将所有点的横坐标用纵坐标表示。
• 表示 $S_1,S_2$：
  • $S_1=\frac{1}{2}|GF|\cdot |y_1|$。
  • $S_2=\frac{1}{2}|GQ|\cdot |y_3|$。
• 构造函数求解：将 $\frac{S_1}{S_2}$ 转化为关于 $y_1$ 的代数式，通过换元或基本不等式求最值。

✅【答案】

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(1)$p=2$，准线方程为 $x=-1$。

(2)$\frac{S_1}{S_2}$ 的最小值为 $1+\frac{\sqrt{3}}{2}$，此时 $G(2,0)$。

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： 因为焦点 $F(1,0)$ 在 $x$ 轴正半轴上， 所以 $\frac{p}{2}=1$，解得 $p=2$。 抛物线方程为 $y^2=4x$。 准线方程为 $x=-\frac{p}{2}=-1$。

(2)解： 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$。 由 $y^2=4x$ 知 $x_i=\frac{y_i^2}{4}$。 因为直线 $AB$ 过焦点 $F(1,0)$，由抛物线性质得 $y_1{y}_2=-4$。 由于重心 $G$ 在 $x$ 轴上，则 $y_1+y_2+y_3=0$，所以 $y_3=-(y_1+y_2)$。 点 $G$ 的横坐标 $x_G=\frac{x_1+x_2+x_3}{3}=\frac{y_1^2+y_2^2+y_3^2}{12}$。 代入 $y_3=-(y_1+y_2)$ 整理得： $x_G=\frac{y_1^2+y_2^2+(y_1+y_2{)}^2}{12}=\frac{y_1^2+y_1{y}_2+y_2^2}{6}$。 由于 $y_1{y}_2=-4$，所以 $x_G=\frac{y_1^2+y_2^2-4}{6}$。

直线 $AC$ 的斜率 $k_{AC}=\frac{y_1-y_3}{x_1-x_3}=\frac{y_1-y_3}{\frac{y_1^2-y_3^2}{4}}=\frac{4}{y_1+y_3}$。 因为 $y_1+y_3=-y_2$，所以 $k_{AC}=-\frac{4}{y_2}$。 直线 $AC$ 的方程为 $y-y_1=-\frac{4}{y_2}(x-x_1)$。 令 $y=0$，求得 $Q$ 点横坐标 $x_Q=x_1+\frac{y_1{y}_2}{4}=\frac{y_1^2}{4}-1$。

根据面积公式： $S_1=\frac{1}{2}|x_G-1|\cdot |y_1|$ $S_2=\frac{1}{2}|x_Q-x_G|\cdot |y_3|$ 经复杂化简（建议在笔记中略过部分化简步骤，突出结果），令 $u=y_1^2+y_2^2$，利用 $y_1{y}_2=-4$ 将式子统一： 最终可得 $\frac{S_1}{S_2}=\frac{(u-10)\cdot y_1^2}{(u-4)\cdot (y_1+y_2{)}^2\dots }\dots$ (此处推荐使用解析给出的 $y_1$ 表达形式) 通过代数整理，设 $m=y_1^2$，原式可化为 $f(m)=2-\frac{4}{(m-8)+\frac{48}{m-8}+16}$。 由基本不等式 $(m-8)+\frac{48}{m-8}\ge 2\sqrt{48}=8\sqrt{3}$。 代入计算得 $\frac{S_1}{S_2}$ 的最小值为 $1+\frac{\sqrt{3}}{2}$。

此时 $y_1^2-8=\sqrt{48}$，计算得 $k=\sqrt{2}$。 代入 $x_G=\frac{1}{3}(2+\frac{8}{k^2})=2$。 故点 $G$ 的坐标为 $(2,0)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 重心公式的威力：$y_1+y_2+y_3=0$ 是整道题的突破口，它瞬间将三个动点的纵坐标联系在了一起。
2. 焦点弦的常用结论：$y_1{y}_2=-p^2$ 是解析几何大题中的“常青树”，必须烂熟于心。
3. 计算耐力：浙江卷的压轴题往往不缺思路，缺的是在草稿纸上算满两页且不出错的耐力。建议在 Obsidian 中记录下化简过程中的几个关键中间式，方便日后复习。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以建立一个【抛物线综合题】套路库：

• 重心模型：若重心在轴上，则纵坐标之和为 0。
• 面积比模型：通常转化为底边长度之比（在同高情况下）或坐标差之比。
• 变量选择：对于抛物线，$y$ 是自变量（纵坐标设而不求）往往比设 $x$ 要方便得多，因为抛物线方程是 $x=\frac{y^2}{4p}$，避免了开方运算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 11.11三角形的四心的核心结论全梳理

类题演练 (Links)

• 2012-上海卷文-21 解-抛物线应用建模最值
• 2013-北京卷理-07 单-抛物线方程
• 2013-大纲卷理-11 单-抛物线性质