2020-上海卷-10 填-向量垂直

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与几何性质，以及直线与椭圆的位置关系。

📌【题干】

Question

（2020年上海卷）已知椭圆 $C:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ 的右焦点为 $F$，直线 $l$ 经过椭圆右焦点 $F$，交椭圆 $C$ 于 $P,Q$ 两点（点 $P$ 在第二象限），若点 $Q$ 关于 $x$ 轴对称点为 $Q^{\prime }$，且满足 $PQ\perp F{Q}^{\prime }$，求直线 $l$ 的方程是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定焦点坐标：由 $a^2=4,b^2=3$ 得 $c^2=1$，故 $F(1,0)$。
2. 设出直线方程：考虑到直线 $l$ 过 $F(1,0)$ 且与 $x$ 轴不重合（因 $P$ 在第二象限），设直线 $l$ 的方程为 $x=my+1$。
3. 联立方程组：将直线方程代入椭圆方程，得到关于 $y$ 的一元二次方程，利用韦达定理表达 $y_P+y_Q$ 和 $y_P{y}_Q$。
4. 利用对称与垂直关系：

• 设 $Q(x_Q,y_Q)$，则 $Q^{\prime }(x_Q,-y_Q)$。
• $PQ\perp F{Q}^{\prime }⟹\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{F{Q}^{\prime }}=0$。或者利用斜率关系 $k_{PQ}\cdot k_{F{Q}^{\prime }}=-1$。

5. 求解参数 $m$：代入坐标运算，求出 $m$ 的值，进而得出直线方程。

✅【答案】

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x + y - 1 = 0

✍【详细解析】

Abstract

第一步：基本量计算 椭圆方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，则 $a=2,b=\sqrt{3}$。 $c=\sqrt{a^2-b^2}=1$，所以右焦点 $F(1,0)$。 设 $P(x_P,y_P),Q(x_Q,y_Q)$，则 $Q^{\prime }(x_Q,-y_Q)$。 由于 $l$ 过 $F(1,0)$，设 $l:x=my+1$。

第二步：联立与韦达定理 将 $x=my+1$ 代入 $3x^2+4y^2=12$ 得： $3(my+1{)}^2+4y^2-12=0⟹(3m^2+4)y^2+6my-9=0$。 则 $y_P+y_Q=\frac{-6m}{3m^2+4}$，$y_P{y}_Q=\frac{-9}{3m^2+4}$。

第三步：利用垂直关系建立等式 $\overrightarrow{PQ}=(x_Q-x_P,y_Q-y_P)=(m(y_Q-y_P),y_Q-y_P)$。 $\overrightarrow{F{Q}^{\prime }}=(x_Q-1,-y_Q)=(m{y}_Q,-y_Q)$。 由 $PQ\perp F{Q}^{\prime }$ 知 $\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{F{Q}^{\prime }}=0$： $m(y_Q-y_P)\cdot m{y}_Q+(y_Q-y_P)\cdot (-y_Q)=0$ $(y_Q-y_P)[m^2{y}_Q-y_Q]=0$。 由于 $P,Q$ 为不同两点，$y_Q-y_P\ne 0$，且 $Q$ 不在 $x$ 轴上（$y_Q\ne 0$）。 所以必须满足 $m^2-1=0⟹m=\pm 1$。

第四步：确定 $m$ 的符号并求方程 当 $m=1$ 时，$x=y+1$，即 $y=x-1$。 当 $m=-1$ 时，$x=-y+1$，即 $y=-x+1$。 题目指出点 $P$ 在第二象限。 若 $y=x-1$，当 $x<0$ 时 $y<0$（在第三象限），不符。 若 $y=-x+1$，当 $x<0$ 时 $y>1$（在第二象限），符合题意。 故 $m=-1$，直线方程为 $x+y-1=0$（或 $y=-x+1$）。

最终答案为：x + y - 1 = 0


💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 设元技巧：在涉及过 $x$ 轴上定点的直线时，设 $x=my+x_0$ 可以避免讨论斜率不存在的情况，且在计算向量或斜率时往往更简洁。
2. 逻辑简化：本题的垂直关系 $\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{F{Q}^{\prime }}=0$ 化简后直接得到了关于 $m$ 的独立方程，这是一个重要的计算“减负”点。
3. 象限约束：解析几何中常有关于点位置的限制，最后一步务必代值检验。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论的推广:
  • 对于过焦点 $F(c,0)$ 的弦 $PQ$，若满足特定垂直关系，往往与直线的倾斜角（$\pm 45^{\circ }$）有关。本题中 $m^2=1$ 意味着直线倾斜角为 $135^{\circ }$。
• 方法的推广:
  • 向量法处理垂直：在解析几何中，处理垂直关系时 $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$ 通常比 $k_1{k}_2=-1$ 更稳健，因为它自动涵盖了斜率不存在的情形。
• 相关知识点:
  • 椭圆的反射性质：虽然本题不是光学性质题，但对称点 $Q^{\prime }$ 的引入常出现在与椭圆准线、焦半径相关的题目中。
  • 韦达定理推论：在处理弦长、面积或夹角问题时，韦达定理是连接几何关系与代数方程的唯一桥梁。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2013-天津卷理-18 解-椭圆方程与性质
• 2014-广东卷理-20 解-椭圆的标准方程
• 2013-上海卷理-09 填-椭圆方程与性质