2020-上海卷-21 解-新定义数列

本题导读

本题考查数列的新定义性质。核心在于分类讨论法、排除法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年上海卷）已知数列 $\{a_n\}$ 为有限数列，满足 $|a_1-a_2|\le |a_1-a_3|\le \cdots \le |a_1-a_m|$，则称 $\{a_n\}$ 满足性质 $P$。

（1）判断数列 $3,2,5,1$ 和 $4,3,2,5,1$ 是否具有性质 $P$，请说明理由；

（2）若 $a_1=1$，公比为 $q$ 的等比数列，项数为 10，具有性质 $P$，求 $q$ 的取值范围；

（3）若 $\{a_n\}$ 是 $1,2,3,\dots ,m$ 的一个排列 ($m\ge 4$)，$\{b_n\}$ 符合 $b_k=a_{k+1}$ ($k=1,2,\dots ,m-1$)，$\{a_n\}$、$\{b_n\}$ 都具有性质 $P$，求所有满足条件的数列 $\{a_n\}$。

🔍【思路分析】

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1. 第一问：直接代入定义。计算首项与后续各项距离的差值，检查是否满足非减序列。
2. 第二问：利用等比通项列出不等式 $|1-q^{n-1}|\le |1-q^n|$。通过平方消去绝对值，并按 $q$ 的范围（$q\ge 1$, $0<q\le 1$, $-1\le q<0$, $q<-1$）进行分类讨论，寻找使不等式对所有 $n$ 恒成立的条件。
3. 第三问：新定义的深度挖掘。

• $\{a_n\}$ 具性质 $P⟹$ 其余项离 $a_1$ 越来越远。
• $\{b_n\}$ 具性质 $P⟹$ 从 $a_3$ 开始离 $a_2$ 越来越远。
• 通过对首项 $a_1=p$ 的取值范围进行分类，利用排除法证明当 $p$ 处于中间位置时必产生矛盾，从而锁定 $p$ 只能取端点附近的值。

✅【答案】

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$q$ 的取值范围为 $(-\infty ,-2]\cup (0,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

（1）判断性质 $P$

• 对于数列 $3,2,5,1$： $|2-3|=1$，$|5-3|=2$，$|1-3|=2$。 由于 $1\le 2\le 2$，满足题意，故 该数列具有性质 $P$。
• 对于第二个数列 $4,3,2,5,1$： $|3-4|=1$，$|2-4|=2$，$|5-4|=1$。 由于 $2>1$，不满足单调不减条件，故 该数列不具有性质 $P$。

（2）求 $q$ 的取值范围 由题意，$|1-q^{n-1}|\le |1-q^n|$ 对于 $n\in \{2,3,\dots ,9\}$ 恒成立。 两边平方得：$1-2q^{n-1}+q^{2n-2}\le 1-2q^n+q^{2n}$。 整理得：$(q-1)q^{n-1}[q^{n-1}(q+1)-2]\ge 0$。

1. 当 $q\ge 1$ 时：$q-1\ge 0$，需 $q^{n-1}(q+1)-2\ge 0$。 该式随 $n$ 增大而增大，故只需 $n=2$ 时成立，即 $q(q+1)-2\ge 0$。 解得 $q\ge 1$ 或 $q\le -2$，取 $q\ge 1$。
2. 当 $0<q<1$ 时：$q-1<0$，需 $q^{n-1}(q+1)-2\le 0$。 该式随 $n$ 增大而减小，故只需 $n=2$ 时成立，即 $q(q+1)-2\le 0$。 解得 $-2\le q\le 1$，取 $0<q<1$（结合 $q=1$ 知 $0<q\le 1$ 均可）。
3. 当 $-1\le q<0$ 时： $n$ 为奇数时，$q^{n-1}[q^{n-1}(q+1)-2]\le 0$ 恒成立。 $n$ 为偶数时，$q^{n-1}[q^{n-1}(q+1)-2]\ge 0$ 不恒成立。 故此时矛盾，舍去。
4. 当 $q<-1$ 时： 同理分析偶数项，需满足 $q(q+1)-2\ge 0$，解得 $q\le -2$。 综上所述，$q$ 的取值范围为 $(-\infty ,-2]\cup (0,+\infty )$。

（3）求所有满足条件的数列 $\{a_n\}$ 设 $a_1=p$。若 $p\in \{3,4,\dots ,m-2\}$： 因为要满足性质 $P$，项的排布必须在 $p$ 左右交替扩散。前 5 项可能的组合如 $(p,p-1,p+1,p-2,p+2)$ 等。

• 验证组合 ① $a_1=p,a_2=p-1,a_3=p+1$： 则 $b_1=p-1,b_2=p+1$，此时 $|b_2-b_1|=|(p+1)-(p-1)|=2$。 若 $a_4=p-2$，则 $b_3=p-2$，$|b_3-b_1|=|(p-2)-(p-1)|=1$。 由于 $2>1$，$\{b_n\}$ 不满足性质 $P$。 经过对所有中间位置 $p$ 的穷举验证（如图所示的 ①②③④ 情况），均会导致 $\{b_n\}$ 矛盾。 因此 $p$ 只能取端点值。

1. 当 $p=1$ 时：只有 $(1,2,3,\dots ,m)$ 满足。
2. 当 $p=m$ 时：只有 $(m,m-1,\dots ,1)$ 满足。
3. 当 $p=2$ 时：只有 $(2,1,3,4,\dots ,m)$ 满足。
4. 当 $p=m-1$ 时：只有 $(m-1,m,m-2,m-3,\dots ,1)$ 满足。 综上所述，满足条件的数列共以下四种：

• $(1,2,3,\dots ,m)$
• $(m,m-1,m-2,\dots ,1)$
• $(2,1,3,4,\dots ,m)$
• $(m-1,m,m-2,m-3,\dots ,1)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 距离的单调性：性质 $P$ 的几何直观是：在数轴上，数列的项离首项越来越远。
2. 逻辑排除法：第三问中，通过证明“中间出发必失败”来缩小搜索空间。这是解决排列组合类数列压轴题的常用策略。
3. 上海卷风格：考察对新定义的快速建模和逻辑推演，而非纯粹的计算堆砌。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论的推广:
  • 如果性质 $P$ 改为严格大于，则项数 $m$ 会受到更严苛的限制。
• 方法的推广:
  • 极端原理：在处理排列问题时，优先考虑最大值、最小值以及序列端点的特征。
• 相关知识点:
  • 绝对值单调性：$|x-a|$ 的单调性由 $x$ 与 $a$ 的相对位置决定。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质
• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 2010-江西卷文-05 单-绝对值不等式解集
• 2013-北京卷文-20 解-数列新定义
• 2013-湖南卷理-20 解-曼哈顿距离