2020-全国卷I文-02 单-复数运算

本题导读

本题考查复数的乘方与化简，以及复数的模。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷I(文)）若 $z=1+2\mathrm{i}+{\mathrm{i}}^3$, 则 $|z|=$ ( )

A. $0$　　　　　　　B. $1$　　　　　　　C. $\sqrt{2}$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

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1. 利用虚数单位 $\mathrm{i}$ 的性质 ${\mathrm{i}}^3=-\mathrm{i}$ 将复数 $z$ 化简为标准代数形式 $a+b\mathrm{i}$。
2. 利用复数的模长公式 $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ 计算结果。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

因为 ${\mathrm{i}}^3={\mathrm{i}}^2\cdot \mathrm{i}=-\mathrm{i}$， 所以 $z=1+2\mathrm{i}-\mathrm{i}=1+\mathrm{i}$。 则复数 $z$ 的模为： $|z|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。 故选：(C)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数化简、复数模的计算。
2. 核心方法：先化为代数形式 $a+bi$，再套用模长公式。
3. 避坑指南：注意 ${\mathrm{i}}^3=-\mathrm{i}$ 的符号，避免基础计算失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考数学复数常考基础题。
2. 结论推广：熟练掌握 $\mathrm{i}$ 的周期性（${\mathrm{i}}^1=\mathrm{i},{\mathrm{i}}^2=-1,{\mathrm{i}}^3=-\mathrm{i},{\mathrm{i}}^4=1$）是解决此类问题的关键。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2013-安徽卷理-01 单-复数的代数表示及其几何意义
• 2013-山东卷理-01 单-复数除法
• 2013-江西卷理-01 单-集合交集