2020-全国卷I理-04 单-抛物线性质

本题导读

本题考查抛物线的定义，以及抛物线的几何性质。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷I(理)）4. 已知 $A$ 为抛物线 $C:y^2=2px(p>0)$ 上一点，点 $A$ 到 $C$ 的焦点的距离为 12，到 $y$ 轴的距离为 9，则 $p=$（ ）

A. 2　　　　　　　B. 3　　　　　　　C. 6　　　　　　　D. 12

🔍【思路分析】

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1. 抛物线的定义： 抛物线上任意一点到焦点的距离 $d_F$ 等于该点到准线 $x=-\frac{p}{2}$ 的距离 $d_l$。

2. 距离的转化：

• 点 $A(x_A,y_A)$ 到 $y$ 轴的距离为 $x_A$。题目已知 $x_A=9$。
• 点 $A$ 到准线 $l:x=-\frac{p}{2}$ 的距离为 $d_l=x_A+\frac{p}{2}$。

3. 建立方程： 根据定义：$d_F=d_l⟹12=9+\frac{p}{2}$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 C

【解析过程】 设抛物线 $C:y^2=2px(p>0)$ 的焦点为 $F$，准线为 $l$。 由抛物线方程可知，准线 $l$ 的方程为 $x=-\frac{p}{2}$。 设点 $A$ 的坐标为 $(x_A,y_A)$。

1. 利用到 $y$ 轴的距离： 因为点 $A$ 在第一、四象限，且到 $y$ 轴的距离为 9，所以 $x_A=9$。
2. 利用抛物线定义： 点 $A$ 到焦点 $F$ 的距离为 12，根据抛物线定义，这等于点 $A$ 到准线 $l$ 的距离： $|AF|=x_A+\frac{p}{2}=12$
3. 求解 $p$： 将 $x_A=9$ 代入上式得： $9+\frac{p}{2}=12$ $\frac{p}{2}=3⟹p=6$

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 焦半径公式： 对于 $y^2=2px$，焦半径 $|AF|=x_A+\frac{p}{2}$。熟记这个公式是解决抛物线距离问题的捷径。
• 易错点： 注意“到 $y$ 轴的距离”与“到准线的距离”的区别。准线在 $y$ 轴左侧 $\frac{p}{2}$ 处，所以到准线的距离比到 $y$ 轴的距离多出 $\frac{p}{2}$。
• 数形结合： 脑海中应有抛物线的标准图像，明确焦点、准线、$y$ 轴的相对位置。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果题目变为 $x^2=2py$，则点 $A$ 到焦点的距离为 $y_A+\frac{p}{2}$，此时已知条件通常会给出点到 $x$ 轴的距离。在复习时，应针对四种标准方程下的焦半径公式进行对比记忆。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-11 单-抛物线性质
• 2014-新课标I卷理-10 单-抛物线定义
• 2008-四川卷理-12