2020-全国卷II文-06 单-等比数列

本题导读

本题考查等比数列的通项与前n项和。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷II(文)）记 $S_n$ 为等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和. 若 $a_5-a_3=12,a_6-a_4=24$, 则 $\frac{S_n}{a_n}=$ ( )

A. $2^n-1$　　　B. $2-2^{1-n}$　　　C. $2-2^{n-1}$　　　D. $2^{1-n}-1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据等比数列的性质列出关于首项和公比的方程组，求出公比 $q$ 和首项 $a_1$。
2. 写出通项公式 $a_n$ 与前 $n$ 项和公式 $S_n$，代入所求式子化简。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

设等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$。 由 $a_6-a_4=q(a_5-a_3)$，代入数据得： $24=q\times 12⟹q=2$. 由 $a_5-a_3=a_3(q^2-1)=12$，代入 $q=2$ 得： $a_3(4-1)=12⟹3a_3=12⟹a_3=4$. 因为 $a_3=a_1{q}^2=4a_1=4$，所以 $a_1=1$. 从而通项公式为 $a_n=a_1{q}^{n-1}=2^{n-1}$， 前 $n$ 项和为 $S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{1(1-2^n)}{1-2}=2^n-1$. 因此： $\frac{S_n}{a_n}=\frac{2^n-1}{2^{n-1}}=\frac{2^n}{2^{n-1}}-\frac{1}{2^{n-1}}=2-2^{1-n}$. 故选：(B)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列通项与求和。
2. 核心方法：利用公比性质迅速求出 $q$，再用基本量法求首项。
3. 避坑指南：分式化简时注意指数幂的运算法则，避免化简出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考数列模块经典中档选择题。
2. 结论推广: 等比数列中 $a_{n+k}-a_n=a_n(q^k-1)$ 是处理此类差值问题的常用技巧。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2008-江苏卷-19 解-数列删项等比
• 2008-浙江卷文-04 单-等比数列公比
• 2009-安徽卷文-19 解-等差等比数列