2020-全国卷II文-19 解-圆锥曲线综合

本题导读

本题考查a

📌【题干】

Question

（2020年全国卷II(文)）19. 已知椭圆 $C_1:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的右焦点 $F$ 与抛物线 $C_2$ 的焦点重合，$C_1$ 的中心与 $C_2$ 的顶点重合。过 $F$ 且与 $x$ 轴垂直的直线交 $C_1$ 于 $A,B$ 两点，交 $C_2$ 于 $C,D$ 两点，且 $|CD|=\frac{4}{3}|AB|$。

（1）求 $C_1$ 的离心率；

（2）设 $M$ 是 $C_1$ 与 $C_2$ 的公共点，若 $|MF|=5$，求 $C_1$ 与 $C_2$ 的标准方程。

🔍【思路分析】

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（1）求离心率 $e$：

• 定方程： 设 $F(c,0)$。因为 $C_2$ 顶点在原点，焦点为 $(c,0)$，所以 $C_2:y^2=4cx$。

• 算通径： 直线 $x=c$ 为通径所在直线。

  • 椭圆通径 $|AB|=\frac{2b^2}{a}$。
  • 抛物线通径 $|CD|=4c$。

• 列方程： 根据 $|CD|=\frac{4}{3}|AB|$ 建立关于 $a,c$ 的齐次式，化简求 $e$。

（2）求标准方程：

• 代换参数： 由（1）得 $a=2c$，$b^2=3c^2$。将 $C_1,C_2$ 方程均用 $c$ 表示。
• 联立求 $M$： 联立方程组，消去 $y^2$ 求出点 $M$ 的横坐标 $x_M$（注意保留正值）。
• 利用定义： 抛物线上点 $M$ 到焦点 $F$ 的距离 $|MF|=x_M+c$。代入 $|MF|=5$ 求出 $c$。

✅【答案】

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$C_2$ 的方程为 $y^2=4cx$

✍【详细解析】

Abstract

（1）求 $C_1$ 的离心率 设椭圆 $C_1$ 的半焦距为 $c$，则 $F(c,0)$。 由题意，抛物线 $C_2$ 的顶点为 $(0,0)$，焦点为 $(c,0)$， 故 $C_2$ 的方程为 $y^2=4cx$。 当 $x=c$ 时：

• 对于 $C_1$：$\frac{c^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1⟹y^2=b^2(1-\frac{c^2}{a^2})=\frac{b^4}{a^2}$，即 $y=\pm \frac{b^2}{a}$。 所以 $|AB|=\frac{2b^2}{a}$。
• 对于 $C_2$：$y^2=4c^2$，即 $y=\pm 2c$。 所以 $|CD|=4c$。 因为 $|CD|=\frac{4}{3}|AB|$，所以 $4c=\frac{4}{3}\cdot \frac{2b^2}{a}⟹3ac=2b^2$。 又 $b^2=a^2-c^2$，代入得 $3ac=2(a^2-c^2)$。 两边同除以 $a^2$ 得：$2e^2+3e-2=0$。 解得 $e=\frac{1}{2}$ 或 $e=-2$（舍去）。 故椭圆 $C_1$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$。

（2）求 $C_1$ 与 $C_2$ 的标准方程 由（1）知 $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}⟹a=2c$，则 $b^2=a^2-c^2=3c^2$。 椭圆 $C_1:\frac{x^2}{4c^2}+\frac{y^2}{3c^2}=1$，抛物线 $C_2:y^2=4cx$。 联立方程组： $\{\begin{array}{l}3x^2+4y^2=12c^2\\ y^2=4cx\end{array}⟹3x^2+16cx-12c^2=0$ 解得 $x_1=\frac{2}{3}c$，$x_2=-6c$（由于 $x\ge 0$，舍去）。 根据抛物线定义，点 $M(x_M,y_M)$ 到焦点 $F(c,0)$ 的距离为： $|MF|=x_M+c=\frac{2}{3}c+c=\frac{5}{3}c$。 已知 $|MF|=5$，则 $\frac{5}{3}c=5⟹c=3$。 由此得：$a^2=(2c{)}^2=36$，$b^2=3c^2=27$。 故 $C_1$ 的标准方程为 $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{27}=1$， $C_2$ 的标准方程为 $y^2=12x$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 通径公式： 椭圆通径 $\frac{2b^2}{a}$ 和抛物线通径 $2p$（此处 $p=2c$）是解析几何中的高频结论，熟记可直接提速。
• 定义优于坐标： 在处理抛物线上的点到焦点的距离时，优先使用 $|MF|=x+\frac{p}{2}$ 而非两点间距离公式，可以避免繁琐的根号运算。
• 方程齐次化： 在求离心率时，将关于 $a,b,c$ 的等式统一转化为关于 $e$ 的方程是标准做法。

📖【试题探源与推广】

Tip

通径（Latus Rectum）是过焦点且垂直于长轴（对称轴）的弦。

• 在椭圆中，通径越短，椭圆越“扁”，离心率 $e$ 越大。
• 在天文学中，通径的半长（即 $\frac{b^2}{a}$）被称为轨道参数 $p$，是描述天体运行轨道的重要指标。

在处理不同曲线的公共点时，若已知离心率或比例关系，应优先将所有变量参数化为单一变量（如本题中的 $c$）。这能将繁琐的二元二次方程组简化为一元二次方程。

高考常考椭圆、双曲线、抛物线三者中任意两者的“共焦点”组合。

• 椭圆与双曲线共焦点： 则它们的 $c$ 相等，通常考查定义式（$r_1+r_2=2a_1$ 与 $|r_1-r_2|=2a_2$）的联立。
• 椭圆与抛物线共焦点： 重点往往在于抛物线的准线与椭圆的某种几何位置关系（如准线过椭圆顶点或中心）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷理-11 单-抛物线定义
• 2013-湖南卷理-21 解-抛物线定义
• 2008-广东卷文-20 解-椭圆抛物线切线与存在性