2020-全国卷II理-01 单-集合运算

本题导读

本题考查集合的并集运算，以及集合的补集运算。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷II(理)）1. 已知集合 $U=\{-2,-1,0,1,2,3\}$，$A=\{-1,0,1\}$，$B=\{1,2\}$，则 ${\complement }_U(A\cup B)=$（ ）

A. $\{-2,3\}$　B. $\{-2,2,3\}$　C. $\{-2,-1,0,3\}$　D. $\{-2,-1,0,2,3\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 先求并集 $A\cup B$：

将集合 A 和集合 B 中的所有元素合并。注意：集合元素具有互异性，重复的元素（如 1）只记录一次。

2. 再求补集 ${\complement }_U(A\cup B)$：

在全集 $U$ 中寻找不属于 $A\cup B$ 的所有元素，组成新集合。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 A

【解析过程】

1. 求并集：

因为 $A=\{-1,0,1\}$，$B=\{1,2\}$，

合并元素得 $A\cup B=\{-1,0,1,2\}$。

2. 求补集：

已知全集 $U=\{-2,-1,0,1,2,3\}$，

比对两个集合，在 $U$ 中但不在 $A\cup B$ 中的元素有：$-2$ 和 $3$。

故 ${\complement }_U(A\cup B)=\{-2,3\}$。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 元素互异性： 这是集合运算最容易忽略的点，若误认为并集元素为 $\{-1,0,1,1,2\}$ 会干扰逻辑。

• 补集的参照系： 补集运算一定不能脱离全集 $U$，若选项中出现全集之外的元素，可直接排除。

• 快速验算法： $n(A\cup B)+n({\complement }_U(A\cup B))=n(U)$。本题中 $4+2=6$，符合逻辑。

📖【试题探源与推广】

Tip

在处理涉及“补集”与“交并集”混合的复杂问题时，德·摩根定律提供了一种转换思路，能将“并的补”转化为“补的交”：

1. 公式表述：

• ${\complement }_U(A\cup B)=({\complement }_{U}A)\cap ({\complement }_{U}B)$ （并的补等于补的交）

• ${\complement }_U(A\cap B)=({\complement }_{U}A)\cup ({\complement }_{U}B)$ （交的补等于补的并）

2. 本题验证：

• ${\complement }_{U}A=\{-2,2,3\}$

• ${\complement }_{U}B=\{-2,-1,0,3\}$

• 取两者的交集：$({\complement }_{U}A)\cap ({\complement }_{U}B)=\{-2,3\}$。

• 结果与直接计算 $A\cup B$ 的补集完全一致。

应用场景： 当直接求 $A\cup B$ 非常复杂（例如涉及含参不等式），而求各自的补集相对简单时，利用德·摩根定律可以有效降维。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2005-江西卷理-01 单-绝对值不等式与整数集

• 2013-重庆卷文-01 单-集合补集

• 2014-浙江卷理-01 单-集合补集