2014-浙江卷理-01 单-集合补集

本题导读

本题考查集合的补集运算。解题关键在于准确理解全集 $U$ 与集合 $A$ 的限定范围（自然数且 $x\ge 2$），通过解不等式确定集合 $A$ 的元素，再利用补集定义求出结果。

📌【题干】

Question

（2014年浙江卷(理)） 设全集 $U=\{x\in \mathbb{N}|x\ge 2\}$，集合 $A=\{x\in \mathbb{N}|x^2\ge 5\}$，则 ${\complement }_{U}A=$ ()

A. $\varnothing$　　　　　　　B. $\{2\}$　　　　　　　C. $\{5\}$　　　　　　　D. $\{2,5\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确全集 $U$：全集由不小于 $2$ 的自然数组成，即 $U=\{2,3,4,5,\dots \}$。

2. 求解集合 $A$：由 $x^2\ge 5$ 且 $x\in \mathbb{N}$，解得 $x\ge \sqrt{5}\approx 2.236$。即 $A=\{3,4,5,\dots \}$。

3. 求补集：${\complement }_{U}A$ 表示属于 $U$ 但不属于 $A$ 的元素。对比 $U$ 和 $A$ 的元素即可得出。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定集合 $A$ 在全集 $U$ 中的表现形式

已知全集 $U=\{2,3,4,5,\dots \}$。

对于集合 $A$:

由 $x^2\ge 5$ 可得 $x\ge \sqrt{5}$ 或 $x\le -\sqrt{5}$。

又因为 $x\in \mathbb{N}$，则 $x\in \{3,4,5,\dots \}$。

可知，$A\subset U$。

第二步：计算补集 ${\complement }_{U}A$

根据补集定义，${\complement }_{U}A=\{x\in U|x\notin A\}$。

全集 $U$ 中的元素比集合 $A$ 多出了一个元素 $2$（因为 $2^2=4<5$，所以 $2\notin A$）。

因此，${\complement }_{U}A=\{2\}$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：补集运算。务必注意全集 $U$ 的“门槛”（本题为 $x\ge 2$），这是最容易出错的地方。

2. 核心方法：对于离散集合，列举法是最直观的方法。将 $U$ 和 $A$ 的前几个元素列出来，差异便一目了然。

3. 避坑指南：- 不要忽略 $x\in \mathbb{N}$ 的限制。 - 准确估算 $\sqrt{5}$ 的大小，确认 $2$ 是否满足 $x^2\ge 5$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 集合的包含关系、二次不等式的整数解。

2. 结论推广: 若全集 $U$ 变为整个自然数集 $\mathbb{N}$，则补集将变为 $\{0,1,2\}$。

3. 方法推广: 解决集合题目的“三步走”：一化简（解不等式/方程）、二对应（看属于哪个数集）、三运算（交并补）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

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• 2013-陕西卷文-01 单-集合补集
• 2013-重庆卷文-01 单-集合补集