2020-全国卷II理-15 填-复数模

本题导读

本题考查复数模的定义与性质，以及复数的三角形式。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷II(理)）15. 设复数 $z_1,z_2$ 满足 $|z_1|=|z_2|=2$，$z_1+z_2=\sqrt{3}+i$，则 $|z_1-z_2|=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

方法一：平行四边形恒等式（推荐）

• 复数 $z$ 对应平面向量 $\vec{z}$。

• 根据平行四边形对角线与边的关系：$|z_1+z_2{|}^2+|z_1-z_2{|}^2=2(|z_1{|}^2+|z_2{|}^2)$。

• 已知 $|z_1|,|z_2|$ 和 $z_1+z_2$，直接代入求未知项。

方法二：三角代换法（通用）

• 设 $z_1=2(\cos \theta +i\sin \theta )$，$z_2=2(\cos \alpha +i\sin \alpha )$。
• 利用 $z_1+z_2=\sqrt{3}+i$ 的实部和虚部建立方程组，通过平方相加消参，求出 $\cos (\theta -\alpha )$。
• 再代入 $|z_1-z_2|$ 的模长公式。

✅【答案】

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$2\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $2\sqrt{3}$

【解析过程】 解法一：利用平行四边形恒等式

1. 计算已知项的模方： $|z_1{|}^2=2^2=4$ $|z_2{|}^2=2^2=4$ $|z_1+z_2{|}^2=|\sqrt{3}+i{|}^2=(\sqrt{3}{)}^2+1^2=4$

2. 代入公式： $|z_1+z_2{|}^2+|z_1-z_2{|}^2=2(|z_1{|}^2+|z_2{|}^2)$ $4+|z_1-z_2{|}^2=2(4+4)$ $4+|z_1-z_2{|}^2=16$ $|z_1-z_2{|}^2=12$

3. 得出结果： $|z_1-z_2|=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 复数与向量的转化： $|z_1-z_2|$ 的几何意义是复平面内两点 $z_1,z_2$ 之间的距离。
• 平行四边形公式： 这是一个非常强大的隐藏结论。在复数、向量、平面几何中，只要涉及“和的模”与“差的模”，首先考虑这个公式。
• 计算陷阱： 注意题目给出的 $z_1+z_2=\sqrt{3}+i$ 是一个具体的复数，需要先算出它的模长 $|z_1+z_2|=2$ 才能代入公式。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果题目问的是 “$z_1,z_2$ 夹角的余弦值”，可以利用向量数量积公式求解。 由于 $|z_1+z_2{|}^2=|z_1{|}^2+|z_2{|}^2+2|z_1||z_2|\cos ⟨z_1,z_2⟩$： $4=4+4+2(2)(2)\cos \varphi ⟹8\cos \varphi =-4⟹\cos \varphi =-1/2$。 由此可见，$z_1$ 与 $z_2$ 的夹角为 $120^{\circ }$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2013-安徽卷理-01 单-复数的代数表示及其几何意义
• 2013-山东卷理-01 单-复数除法
• 2013-江西卷理-01 单-集合交集