本题导读
本题考查样本平均数与样本方差。
📌【题干】
Question
（2020年全国卷III(理)）3. 在一组样本数据中，1，2，3，4 出现的频率分别为 ，且 ，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ）
A.
B.
C.
D.
🔍【思路分析】
破题导航
方法一：直观判定法（推荐，快速求解）
对称性观察： 四个选项中，频率分布关于 对称（即 ），这意味着四组数据的平均数 均为 。
离散程度分析： 标准差越大，表示数据波动越大，即数据更多地分布在远离平均数 的位置。
比较权重：
- 数据 和 距离中心 的距离为 。
- 数据 和 距离中心 的距离为 。
结论： 谁在 和 （两端）上的频率分布越高，谁的波动就越大。显然 B 选项在两端的频率最高（合计 ），故标准差最大。
方法二：计算法（稳健，确认结论） 利用方差公式 计算即可。
✅【答案】
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B
✍【详细解析】
Abstract
【答案】 B
【解析过程】 由于四组数据均满足 且 ，平均数均为： 。
计算方差 ： 。
将 代入： 。 这是一个关于 的增函数。因此 越大，方差 越大，标准差 也就越大。
- A：
- B：
- C：
- D：
对比可知，B 选项的 最大，对应标准差最大。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 标准差的物理意义： 标准差是衡量一组数据离散程度的量。数据分布越“瘦长”（集中在均值附近），标准差越小；分布越“矮胖”（分散在两侧），标准差越大。
- 对称结构的巧用： 发现平均数相同是简化本题的关键。
- 对比性思维： 这种题目不需要求出精确的标准差数值，只需要建立一个可以相互比较的代数式或逻辑模型。
📖【试题探源与推广】
Tip
如果题目问的是**“标准差最小的一组”**，则应选择数据最向中间集中的 A 选项。在概率分布中，这种两头高中间低的分布（如 B 选项）有时被称为“U型分布”，而中间高两头低的分布（如 A 选项）更接近正态分布的特征。
🔗【关联脉络】
Multi column