2020-全国卷III理-08 单-三角形面积

本题导读

本题考查三视图还原几何体，以及三棱锥的表面积计算。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷III(理)）8. 下图为某几何体的三视图（图中网格纸上小正方形的边长为 1），则该几何体的表面积是（ ）

A. $6+4\sqrt{2}$　　　　　B. $4+4\sqrt{2}$　　　　　C. $6+2\sqrt{3}$　　　　　D. $4+2\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

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1. 几何体还原：

• 观察： 三视图均为相同的直角三角形，且直角顶点位于坐标原点方向。

• 判定： 该几何体是一个三棱锥（也称四面体）。

• 空间位置： 设三棱锥的顶点为 $D(0,0,2)$，底面三角形的三个顶点分别位于坐标轴上，即 $A(2,0,0)$，$B(0,2,0)$，$O(0,0,0)$。该三棱锥是由正方体的一个角截得的。

2. 表面积组成分析： 该几何体由 4 个三角形面组成：

• 三个直角三角形面： 分别位于 $xOy,xOz,yOz$ 平面上，它们是全等的等腰直角三角形，边长为 2。
• 一个斜面： 以三条面对角线为边的三角形。

3. 计算各面面积：

• 直角面面积：$S_1=\frac{1}{2}\times 2\times 2=2$。
• 斜面边长：根据勾股定理，边长均为 $\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，即斜面是一个边长为 $2\sqrt{2}$ 的等边三角形。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 C

【解析过程】

1. 计算三个直角面的面积之和： 由于正视图、侧视图、俯视图对应的三个面都是直角边长为 2 的等腰直角三角形， 所以这三个面的面积均为 $S_{\text{直角}}=\frac{1}{2}\times 2\times 2=2$。 三个面的总面积为 $3\times 2=6$。

2. 计算第四个斜面的面积： 斜面的三条边长均为 $L=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。 这是一个边长为 $2\sqrt{2}$ 的等边三角形。 根据等边三角形面积公式 $S=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$： $S_{\text{斜面}}=\frac{\sqrt{3}}{4}\times (2\sqrt{2}{)}^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 8=2\sqrt{3}$。

3. 求表面积： $S_{\text{总}}=6+2\sqrt{3}$。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 三视图还原口诀： “墙角模型”看视图，三个直角定乾坤。这种三个视图都是直角三角形的情况，通常就是正方体的一个角。
• 易错点：
  1. 误以为只有 3 个面（漏掉斜面）。
  2. 误将斜面面积算成直角三角形面积。
  3. 计算等边三角形面积时公式记错，建议推导一遍：底为 $2\sqrt{2}$，高为 $\sqrt{(2\sqrt{2}{)}^2-(\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{6}$，面积 $=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{2}\times \sqrt{6}=2\sqrt{3}$。
• 面积投影法（进阶）： 实际上斜面的面积 $S$ 满足 $S\cdot \cos \gamma =S_{\text{投影}}$，在本题中并不比直接计算快。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果题目求的是该几何体的体积，则计算更简单： $V=\frac{1}{3}{S}_{\text{底}}\cdot h=\frac{1}{3}\times (\frac{1}{2}\times 2\times 2)\times 2=\frac{4}{3}$。 三视图题目中，体积考查频率通常高于表面积，但表面积更考验对每一个面形状的精准判断。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 11.04 三角形面积公式

类题演练 (Links)

• 2012-北京卷文-07 单-三视图表面积
• 2009-新课标卷文-11 单-三视图全面积
• 2012-新课标卷文-07 单-三视图体积