2012-北京卷文-07 单-三视图表面积

本题导读

本题考查三视图，以及棱锥的表面积。

📌【题干】

Question

（2012年北京卷(文)） 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是()

A. $28+6\sqrt{5}$　　　　B. $30+6\sqrt{5}$　　　　C. $56+12\sqrt{5}$　　　　D. $60+12\sqrt{5}$

!

🔍【思路分析】

破题导航

底面直角三角形（直角边 $5$、$4$）面积 $10$，两个侧面各 $10$，斜面 $6\sqrt{5}$，表面积 $30+6\sqrt{5}$，选 B。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

由三视图还原：底面为直角三角形，直角边 $AB=5$、$BC=4$，顶点 $V$ 在底面的投影落在长直角边上，且高为 $4$。

建系：$A(0,4,0)$，$B(5,4,0)$，$C(5,0,0)$，$V(2,4,4)$。

底面 $ABC$：$S=\frac{1}{2}\times 5\times 4=10$；

侧面 $VAB$（在平面 $y=4$ 内）：底 $AB=5$，高 $4$，$S=10$；

侧面 $VBC$：$BV=(-3,0,4)$，$BC=(0,-4,0)$，$|BV\times BC|=|（16,0,12）|=20$，$S=10$；

侧面 $VAC$：$AV=(2,0,4)$，$|AV|=2\sqrt{5}$，$|AC|=\sqrt{41}$，$AV\cdot AC=10$，$\sin \theta =\sqrt{1-\frac{100}{20\times 41}}$，$S=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{5}\times \sqrt{41}\times \sqrt{\frac{720}{820}}=6\sqrt{5}$。

表面积 $=10+10+10+6\sqrt{5}=30+6\sqrt{5}$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三视图还原几何体；棱锥表面积

核心方法：还原出底面与高的数据 → 逐面求面积（向量叉乘或分解）

避坑指南：正视图底边的"$2+3$"说明顶点投影在底边内部分点处，从而两个侧面为直角三角形、一个侧面为一般三角形；别把三个侧面全当成全等三角形。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三棱锥三视图表面积题，与 2012 年新课标Ⅰ文第 7 题、2013 年辽宁卷文第 13 题同族。

结论推广：一般地，三视图题先由”长对正、高平齐、宽相等”定出关键线段，再建系把各顶点坐标写出来，用向量法逐面求积。

方法推广：三视图表面积题最稳做法：还原 → 建系标坐标 → 逐面计算，最后用选项量级校验。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2012-新课标卷文-07 单-三视图体积
• 2013-辽宁卷文-13 填-三视图圆柱挖棱柱