2020-全国卷III理-15 填-内切圆半径

本题导读

本题考查圆锥的几何性质，以及球的体积公式

📌【题干】

Question

（2020年全国卷III(理)）15. 已知圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 几何体还原与转化：

• “半径最大的球”即为该圆锥的内切球。
• 作圆锥的轴截面，得到一个等腰 $△ABC$。

  • 底边 $BC=2\times \text{半径}=2$。

  • 腰长 $AB=AC=\text{母线}=3$。

  • 圆锥内切球的半径 $r$，等同于该等腰三角形内切圆的半径。

2. 计算三角形的特征量：

• 算出三角形的高 $h$（即圆锥的高）：利用勾股定理，$h=\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt{2}$。
• 算出三角形的面积 $S$ 和周长的一半 $p$。

3. 求解内切圆半径 $r$：

• 利用面积法公式：$S=p\cdot r$（即三角形面积等于周长的一半乘以内切圆半径）。

4. 计算球体体积：

• 代入 $V=\frac{4}{3}\pi r^3$ 得到最终结果。

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{2}}{3}\pi$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $\frac{\sqrt{2}}{3}\pi$

【解析过程】

1. 分析轴截面 $△ABC$： 底边 $BC=2$，腰 $AB=AC=3$。 过顶点 $A$ 作 $AM\perp BC$ 于 $M$，则 $M$ 为 $BC$ 中点，$BM=1$。 由勾股定理得圆锥的高 $h=AM=\sqrt{A{B}^2-B{M}^2}=\sqrt{3^2-1^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。

2. 利用面积法求内切圆半径 $r$： $△ABC$ 的面积 $S=\frac{1}{2}\times BC\times AM=\frac{1}{2}\times 2\times 2\sqrt{2}=2\sqrt{2}$。 $△ABC$ 的周长 $L=3+3+2=8$。 设内切圆半径为 $r$，由 $S=\frac{1}{2}L\cdot r$ 得： $2\sqrt{2}=\frac{1}{2}\times 8\times r⟹4r=2\sqrt{2}⟹r=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

3. 计算球的体积： $V=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^3$ $V=\frac{4}{3}\pi \cdot \frac{2\sqrt{2}}{8}=\frac{4}{3}\pi \cdot \frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{3}\pi$

故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{3}\pi$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 轴截面法的威力： 凡是旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）的组合问题，优先考虑过轴的截面，将空间问题平坦化。
• 常用公式补充： 三角形内切圆半径 $r=\frac{2S}{a+b+c}$。此外，也可以利用角平分线定理或相似三角形（如 $△AON\sim △ABM$）来解，但面积法通常最稳。
• 易错点：
  1. 球的体积公式记错（漏掉 $4/3$ 或 $r^3$ 记成 $r^2$）。
  2. 计算 $r^3$ 时，$(\frac{\sqrt{2}}{2}{)}^3$ 容易算错。建议写成 $\frac{2\sqrt{2}}{8}=\frac{\sqrt{2}}{4}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果题目要求的是 “圆锥外接球的体积”，则需要寻找三角形外接圆的半径 $R$。公式为 $R=\frac{abc}{4S}$。在立体几何大题中，内切与外接是考察空间想象力的核心考点，掌握轴截面分析法即可“以不变应万变”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2012-新课标卷文-08 单-球的截面与体积
• 2013-北京卷理-11 填-切割线定理
• 2013-天津卷理-04 单-球的体积公式