2020-北京卷-02 单-复数运算

本题导读

本题考查复数的几何意义，以及复数的乘法运算。

📌【题干】

Question

（2020年北京卷）2. 在复平面内，复数 $z$ 对应的点的坐标是 $(1,2)$，则 $i\cdot z=$ （ ）

A. $1+2i$　　　　B. $-2+i$　　　　C. $1-2i$　　　　D. $-2-i$

🔍【思路分析】

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1. 转化坐标为复数： 复平面上的点 $(a,b)$ 对应复数 $z=a+bi$。 本题点为 $(1,2)$，故 $z=1+2i$。

2. 进行乘法运算： 计算 $i\cdot (1+2i)$，利用分配律展开，并替换 $i^2=-1$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 B

【解析过程】 由题意，复数 $z$ 在复平面内对应的点为 $(1,2)$， 根据复数的几何意义可知： $z=1+2i$ 则： $i\cdot z=i(1+2i)$ $=i+2i^2$ 由于 $i^2=-1$，代入得： $=i+2(-1)$ $=-2+i$

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 虚数单位的幂次： 牢记 $i^1=i,i^2=-1,i^3=-i,i^4=1$。
• 常见陷阱： 运算结果通常写成实部在前、虚部在后的标准形式 $a+bi$，避免在选择选项时因顺序问题看错符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

在复平面中，复数的乘法有着极其深刻的几何含义：

1. 旋转效应： 任何复数 $z$ 乘以 $i$（即 $e^{i\frac{\pi }{2}}$），其效果是将 $z$ 对应的向量绕原点逆时针旋转 90°。

• 原点 $(1,2)$ 逆时针旋转 90° 后的新坐标确实是 $(-2,1)$，即复数 $-2+i$。

2. 共轭复数： 若题目问 $\bar{z}$，则对应点为 $(1,-2)$。
3. 模长： 乘以 $i$ 不改变复数的模长。$|z|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，而 $|-2+i|=\sqrt{(-2{)}^2+1^2}=\sqrt{5}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2000-新课标理-02 单-复数的几何意义
• 2013-安徽卷理-01 单-复数的代数表示及其几何意义
• 2013-山东卷理-01 单-复数除法