2020-天津卷-18 解-椭圆综合

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与几何性质。核心在于待定系数法、坐标法 (代数化简)的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年天津卷）已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的一个顶点为 $A(0,-3)$，右焦点为 $F$，且 $|OA|=|OF|$，其中 $O$ 为原点。

（1）求椭圆方程；

（2）已知点 $C$ 满足 $3\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OF}$，点 $B$ 在椭圆上（$B$ 异于椭圆的顶点），直线 $AB$ 与以 $C$ 为圆心的圆相切于点 $P$，且 $P$ 为线段 $AB$ 的中点。求直线 $AB$ 的方程。

🔍【思路分析】

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1. 第一问：确定椭圆方程

• 由顶点 $A(0,-3)$ 在 $y$ 轴上知 $b=3$。
• 由 $|OA|=|OF|$ 知 $c=|OA|=3$。
• 利用 $a^2=b^2+c^2$ 求出 $a^2$。

2. 第二问：寻找斜率 $k$ 的突破口

• 关键几何性质： 直线 $AB$ 与圆 $C$ 相切于 $P$，意味着 $CP\perp AB$。即 $k_{CP}\cdot k_{AB}=-1$。
• 设方程： 直线 $AB$ 过点 $A(0,-3)$，设其方程为 $y=kx-3$。
• 找点 P： 1. 联立直线与椭圆方程，求出交点 $B$ 的坐标（利用 $A$ 是其中一个交点，可快速提取另一个交点）。 2. 利用中点公式，由 $A,B$ 坐标求出 $P$ 坐标。
• 建立等式： 利用 $C(1,0)$ 和 $P$ 的坐标表示出 $k_{CP}$，代入垂直关系式解出 $k$。

✅【答案】

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$b=3$

✍【详细解析】

Abstract

因为椭圆的一个顶点为 $A(0,-3)$，属于短轴顶点，故 $b=3$。 又因为 $|OA|=|OF|$，且 $O$ 为原点，$F$ 为右焦点， 所以 $c=|OF|=|OA|=3$。 在椭圆中，$a^2=b^2+c^2=3^2+3^2=18$。 故椭圆方程为 $\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{9}=1$。

1. 确定点 $C$： 由 $F(3,0)$ 及 $3\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OF}$，得 $C(1,0)$。
2. 直线与椭圆联立： 设直线 $AB$ 的斜率为 $k$，则其方程为 $y=kx-3$。 联立方程组： $\{\begin{array}{l}y=kx-3\\ x^2+2y^2=18\end{array}⟹x^2+2(kx-3{)}^2=18$ 整理得：$(1+2k^2)x^2-12kx=0$。 解得 $x_A=0$，$x_B=\frac{12k}{1+2k^2}$。 代入直线方程得 $y_B=k\cdot \frac{12k}{1+2k^2}-3=\frac{6k^2-3}{1+2k^2}$。 故 $B\left(\frac{12k}{1+2k^2},\frac{6k^2-3}{1+2k^2}\right)$。
3. 求中点 $P$： 因为 $P$ 为 $AB$ 中点，且 $A(0,-3)$，由中点公式得： $x_P=\frac{6k}{1+2k^2}$，$y_P=\frac{1}{2}\left(\frac{6k^2-3}{1+2k^2}-3\right)=\frac{-3}{1+2k^2}$。 即 $P\left(\frac{6k}{1+2k^2},\frac{-3}{1+2k^2}\right)$。
4. 利用垂直关系求 $k$： 因为 $AB$ 与圆 $C$ 相切于 $P$，故 $CP\perp AB$，即 $k_{CP}\cdot k=-1$。 $k_{CP}=\frac{y_P-0}{x_P-1}=\frac{\frac{-3}{1+2k^2}}{\frac{6k}{1+2k^2}-1}=\frac{-3}{6k-(1+2k^2)}=\frac{3}{2k^2-6k+1}$。 代入 $\frac{3}{2k^2-6k+1}\cdot k=-1$，得： $3k=-2k^2+6k-1⟹2k^2-3k+1=0$。 解得 $k=1$ 或 $k=\frac{1}{2}$。
5. 结论： 直线 $AB$ 的方程为 $y=x-3$ 或 $y=\frac{1}{2}x-3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 化繁为简： 在联立方程后，方程为 $(1+2k^2)x^2-12kx=0$。由于直线过顶点 $A$，常数项消失，可以直接提取 $x$ 因子，避免了繁琐的求根公式或韦达定理。
• 切线性质的代数化： “相切”在大题中不一定都要用 $d=r$，在本题中已知切点 $P$ 是 $AB$ 中点，利用“半径垂直切线”转化为斜率乘积为 $-1$ 是最高效的路径。

📖【试题探源与推广】

Tip

在大题中看到“中点”，通常有两种处理方式：

• 中点坐标公式： 如本题，用于建立点与参数的关系。
• 点差法： 如果已知弦的中点坐标，可以利用点差法直接求出弦所在直线的斜率。

如果题目没有给出 $P$ 是 $AB$ 中点，而是给出圆 $C$ 的半径 $R$，那么我们就需要用到点到直线的距离公式 $d=\frac{|k-0-3|}{\sqrt{k^2+1}}=R$。本题给出的中点条件实际上是在简化半径 $R$ 的未知性。

由于椭圆关于 $y$ 轴对称，直线 $AB$ 过 $y$ 轴上一点，如果 $k$ 有解，通常成对出现或根据点 $C$ 的偏置位置产生特定数值。在本题中，$C$ 点在 $x$ 轴正半轴，故 $k$ 为正数是合理的。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2013-上海卷理-09 填-椭圆方程与性质
• 2013-北京卷理-11 填-切割线定理
• 2013-天津卷理-18 解-椭圆方程与性质