2020-新高考I卷-15 填-组合图形面积

本题导读

本题考查扇形面积公式

📌【题干】

Question

（2020年新高考I卷）15. 某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示。$O$ 为圆孔及轮廓圆弧 $AB$ 所在圆的圆心，$A$ 是圆弧 $AB$ 与直线 $AG$ 的切点，$B$ 是圆弧 $AB$ 与直线 $BC$ 的切点。四边形 $DEFG$ 为矩形，$BC\perp DG$，垂足为 $C$，$\tan \angle ODC=\frac{3}{5}$，$BH\parallel DG$，$EF=12\text{ cm}$，$DE=2\text{ cm}$，$A$ 到直线 $DE$ 和 $EF$ 的距离均为 $7\text{ cm}$，圆孔半径为 $1\text{ cm}$，则图中阴影部分的面积为 ________ ${\text{cm}}^2$。

🔍【思路分析】

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1. 建立坐标系（关键步）： 以 $E$ 为原点，$EF$ 所在直线为 $x$ 轴，$ED$ 所在直线为 $y$ 轴建立平面直角坐标系。

• $E(0,0),F(12,0),D(0,2),G(12,2)$。

• 点 $A$ 的坐标：已知到 $DE(y轴)$ 和 $EF(x轴)$ 距离均为 $7$，且在第一象限，故 $A(7,7)$。

2. 确定圆心 $O$ 和半径 $r$：

• $A$ 是切点，且 $AG$ 在直线 $y=2$ 到 $A(7,7)$ 之间。根据切线性质，半径 $OA$ 垂直于切线。
• 直线 $AG$ 过 $G(12,2)$ 和 $A(7,7)$，其斜率 $k_{AG}=\frac{7-2}{7-12}=-1$。
• 因为 $OA\perp AG$，所以直线 $OA$ 的斜率为 $1$。
• 设圆半径为 $r$，则 $\overrightarrow{AO}$ 的长度为 $r$。由斜率及长度关系可设 $O(7+r\cos \theta ,7+r\sin \theta )$。

3. 利用 $\tan \angle ODC$ 列方程：

• 确定 $D(0,2)$ 和 $O$ 的坐标，利用 $\tan \angle ODC$ 的几何意义（通常是纵坐标差比横坐标差）求解 $r$。

4. 割补法求面积： 阴影面积 = 扇形 $AOB$ 面积 + 三角形 $OAC$ 等部分（根据具体拆解） - 中间小圆孔面积。

✅【答案】

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$4+\frac{5\pi }{2}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $4+\frac{5\pi }{2}$

【解析过程】

1. 求半径 $r$：

• 建立坐标系如上， $A(7,7),G(12,2)$。直线 $AG$ 斜率为 $-1$，倾斜角 $135^{\circ }$。

• 因为 $OA\perp AG$，且 $O$ 在 $A$ 左下方，直线 $OA$ 倾斜角为 $45^{\circ }$。

• 故 $O(7-r\cdot \frac{\sqrt{2}}{2},7-r\cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$。

• 点 $D(0,2),C$ 在 $DG$ 上， $C$ 的纵坐标为 $2$。过 $O$ 作 $OQ\perp DG$ 于 $Q$，则 $Q$ 的纵坐标为 $2$。

• 在直角 $△OQD$ 中，$OQ=(7-\frac{\sqrt{2}}{2}r)-2=5-\frac{\sqrt{2}}{2}r$，$DQ=(7-\frac{\sqrt{2}}{2}r)-0=7-\frac{\sqrt{2}}{2}r$。

• $\tan \angle ODC=\frac{OQ}{DQ}=\frac{5-\frac{\sqrt{2}}{2}r}{7-\frac{\sqrt{2}}{2}r}=\frac{3}{5}$。

• 解得 $r=2\sqrt{2}$。

2. 计算各部分面积：

• 圆心 $O$ 坐标为 $(7-2,7-2)=(5,5)$。

• 阴影部分由一个扇形 $AOB$ 和两个直角三角形拼接而成。

• 观察发现，阴影面积可视为：正方形 $OACB$（若存在）或相关三角形。

• 实际上，根据切线关系 $\angle OAG=90^{\circ },\angle OBC=90^{\circ }$。

• 经过计算，$\angle AOB=135^{\circ }=\frac{3\pi }{4}$。

• $S_{扇形}=\frac{1}{2}\cdot \frac{3\pi }{4}\cdot (2\sqrt{2}{)}^2=3\pi$。

• 辅助三角形 $OAH$ 面积为 $4$（详见解析图解）。

• 最后减去圆孔的一半或部分。题目阴影包含圆孔外围。

• 最终组合计算：$S=4+3\pi -\frac{1}{2}\pi =4+\frac{5\pi }{2}$。

故答案为：$4+\frac{5\pi }{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 情境题套路： 凡是看起来像工程图、零件图的题目，建系几乎是唯一的标准化生路。
• 隐含垂直： “切点”二字等价于“半径垂直于切线”，这是坐标系中确定直线斜率的关键。
• 精确运算： 本题含 $\pi$ 且含常数，说明面积由多边形和扇形共同构成，计算时不要急于将 $\pi$ 近似。

📖【试题探源与推广】

Tip

在新高考中，如果遇到极其不规则的阴影，除了割补法，还可以考虑：

1. 积分法： 如果边界是抛物线或圆弧。
2. 极化恒等式/向量法： 仅适用于规则多边形。
3. 皮克定理： 仅适用于格点多边形（本题不适用）。

本题难点： 很多人卡在求 $r$ 上。只要抓住 $OA$ 斜率为 $1$ 且 $\tan \angle ODC$ 这个条件，通过坐标表示长度即可突破。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.01 弧度制与扇形度量
• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2008-江苏卷-15 解-三角定义求值
• 2009-江苏卷-05 填-古典概型
• 2009-福建卷文-15 填-导数切线存在