2020-新高考I卷-18 解-数列求和

本题导读

本题考查等比数列通项公式

📌【题干】

Question

（2020年新高考I卷）18. 已知公比大于 1 的等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} + a_{4} = 20, a_{3} = 8$ 。

（1）求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（2）求 $a_{1} a_{2} - a_{2} a_{3} + a_{3} a_{4} - \dots + (- 1)^{n - 1} a_{n} a_{n + 1}$ 。

🔍【思路分析】

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（1）找基本量： 利用等比数列通项公式将已知条件转化为关于 $a_{1}$ 和 $q$ 的方程组。注意条件 $q > 1$ ，用于在解得 $q$ 的多个值时进行舍选。

（2）识别求和数列： 令 $b_{n} = (- 1)^{n - 1} a_{n} a_{n + 1}$ 。我们需要判断数列 ${b_{n}}$ 是否具有特殊规律。

计算 $b_{1} = a_{1} a_{2} = 2 \cdot 4 = 8$ 。

计算 $b_{2} = - a_{2} a_{3} = - 4 \cdot 8 = - 32$ 。观察发现，相邻两项的比值 $\frac{b _{n + 1}}{b _{n}}$ 是一个常数。因此，这也是一个等比数列。

✅【答案】

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$q = 2$

✍【详细解析】

Abstract

（1）求 ${a_{n}}$ 的通项公式设等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为 $q$ 。由题意得： ${a_{1} q + a_{1} q^{3} = 20 a_{1} q^{2} = 8 (1) (2)$

由 ② 得 $a_{1} = \frac{8}{q ^{2}}$ ，代入 ① 得： $\frac{8}{q} + 8 q = 20$ 两边同乘 $q$ 并整理得： $8 q^{2} - 20 q + 8 = 0$ 即 $2 q^{2} - 5 q + 2 = 0$ 解得 $q = 2$ 或 $q = \frac{1}{2}$ 。由于已知 $q > 1$ ，故 $q = 2$ 。将 $q = 2$ 代入 ② 得 $a_{1} = \frac{8}{4} = 2$ 。所以通项公式为： $a_{n} = 2 \cdot 2^{n - 1} = 2^{n}$ 。

（2）数列求和记所求和为 $S_{n}$ 。第 $k$ 项为 $b_{k} = (- 1)^{k - 1} a_{k} a_{k + 1}$ 。代入 $a_{n} = 2^{n}$ 得： $b_{k} = (- 1)^{k - 1} \cdot 2^{k} \cdot 2^{k + 1} = (- 1)^{k - 1} \cdot 2^{2 k + 1}$ 。

列举前几项： $b_{1} = (- 1)^{0} \cdot 2^{3} = 8$ $b_{2} = (- 1)^{1} \cdot 2^{5} = - 32$ $b_{3} = (- 1)^{2} \cdot 2^{7} = 128$ 显然，数列 ${b_{n}}$ 是以 $8$ 为首项， $- 4$ 为公比的等比数列。

根据等比数列求和公式 $S_{n} = \frac{A _{1} ( 1 - Q ^{n} )}{1 - Q}$ （其中 $A_{1} = 8, Q = - 4$ ）： $S_{n} = \frac{8 \cdot [ 1 - ( - 4 ) ^{n} ]}{1 - ( - 4 )} = \frac{8}{5} [1 - (- 1)^{n} \cdot 4^{n}]$ $S_{n} = \frac{8}{5} - \frac{8 \cdot ( - 1 ) ^{n} \cdot 2 ^{2 n}}{5}$ $S_{n} = \frac{8}{5} - (- 1)^{n} \frac{2 ^{2 n + 3}}{5}$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

方程思想： 数列大题的第一问通常是“送分题”，只要建立方程组并耐心解二次方程即可。

构造新数列： 面对复杂的求和式，先写出通项公式 $b_{n}$ ，通过观察 $\frac{b _{n + 1}}{b _{n}}$ 确定它是否为等比数列，这比盲目拆项要高效。

符号处理： $(- 1)^{n - 1}$ 是考查重点。在求和公式中， $(- 4)^{n}$ 拆解为 $(- 1)^{n} \cdot 4^{n}$ 是最后化简的关键一步。

📖【试题探源与推广】

Tip

公式法： 等差、等比数列直接套公式（如本题）。

分组求和： $c_{n} = a_{n} + b_{n}$ 。

裂项相消： $c_{n} = \frac{1}{n ( n + 1 )} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$ 。

错位相减： 适用于“等差 $\times$ 等比”模型。

本题易错点： 第二问公比 $Q$ 的正负号。很多学生会忽略 $(- 1)^{n - 1}$ 带来的负号，误以为公比是 $4$ 。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

19.02 等比数列全总结

19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

2008-浙江卷文-04 单-等比数列公比

2013-江西卷理-03 单-等比中项

2014-浙江卷理-19 解-通项公式与性质

∑ ( Math )

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