2020-新高考II卷-14 填-抛物线焦点弦

本题导读

本题考查抛物线的定义与几何性质，以及焦点弦长公式。

📌【题干】

Question

（2020年新高考II卷）斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线过抛物线 $C:y^2=4x$ 的焦点, 且与 $C$ 交于 $A,B$ 两点, 则 $|AB|=$ _____.

🔍【思路分析】

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1. 根据抛物线方程求出焦点坐标及参数 $p$。
2. 写出过焦点且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线方程。
3. 联立直线与抛物线方程，求出交点的横坐标，利用弦长公式求解。

✅【答案】

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$\frac{16}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

由抛物线 $C:y^2=4x$ 可知 $2p=4⟹p=2$，焦点 $F(1,0)$。 过焦点 $F(1,0)$ 且斜率 $k=\sqrt{3}$ 的直线方程为： $y=\sqrt{3}(x-1)$。 联立方程组 $\{\begin{array}{l}y=\sqrt{3}(x-1)\\ y^2=4x\end{array}$： 消去 $y$ 得 $3(x-1{)}^2=4x⟹3x^2-10x+3=0$。 解得 $(3x-1)(x-3)=0$，即 $x_1=\frac{1}{3},x_2=3$。 根据抛物线焦半径及弦长公式 $|AB|=x_1+x_2+p$： $|AB|=\frac{1}{3}+3+2=\frac{16}{3}$。 故答案为：$\frac{16}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线焦点弦长公式、直线与圆锥曲线联立。
2. 核心方法：熟记焦半径公式 $|AB|=x_1+x_2+p$ 可以大幅简化计算。
3. 避坑指南：写直线方程时需先确认焦点坐标，计算弦长时注意系数对应。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：圆锥曲线焦点弦问题的基础考点。
2. 结论推广：过抛物线 $y^2=2px$ 焦点的直线倾斜角为 $\theta$ 时，弦长 $|AB|=\frac{2p}{{\sin }^2\theta }$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2010-山东卷文-09 单-抛物线焦点弦
• 2011-辽宁卷文-07 单-抛物线焦点弦中点距离
• 2013-新课标II卷理-11 单-抛物线定义