2010-山东卷文-09 单-抛物线焦点弦

本题导读

考查抛物线焦点弦。设 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，中点纵坐标 $\frac{y_1+y_2}{2}=2$，由点差法得 $\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{2p}{y_1+y_2}=1$，故 $p=2$，准线 $x=-\frac{p}{2}=-1$，选 B。

📌【题干】

Question

（2010年山东卷(文)） 已知抛物线 $y^2=2px$（$p>0$），过其焦点且斜率为 $1$ 的直线交抛物线于 $A$、$B$ 两点，若线段 $AB$ 的中点的纵坐标为 $2$，则该抛物线的准线方程为()

A. $x=1$　　　　　　B. $x=-1$　　　　　　C. $x=2$　　　　　　D. $x=-2$

🔍【思路分析】

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1. 设 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，中点 $M$ 的纵坐标为 $2$，故 $y_1+y_2=4$。
2. 两式 $y_1^2=2p{x}_1$、$y_2^2=2p{x}_2$ 相减：$(y_1-y_2)(y_1+y_2)=2p(x_1-x_2)$。
3. 斜率 $k=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=1$，代入得 $y_1+y_2=2p$，即 $4=2p$，$p=2$。
4. 准线方程 $x=-\frac{p}{2}=-1$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

设 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，由题意线段 $AB$ 中点的纵坐标为 $2$，即 $y_1+y_2=4.$ 点 $A$、$B$ 在抛物线 $y^2=2px$ 上，故 $y_1^2=2p{x}_1,y_2^2=2p{x}_2.$ 两式相减得 $(y_1-y_2)(y_1+y_2)=2p(x_1-x_2).$ 因为直线 $AB$ 的斜率为 $1$，即 $\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=1$，代入上式得 $y_1+y_2=2p.$ 结合 $y_1+y_2=4$，得 $2p=4$，$p=2$. 所以抛物线的准线方程为 $x=-\frac{p}{2}=-1$. 故选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线的焦点弦与准线

核心方法：点差法：$y_1^2-y_2^2=2p(x_1-x_2)$ 联立斜率与中点纵坐标定 $p$

避坑指南：点差法得到的是 $y_1+y_2=2p$（因斜率 $=1$），再与中点纵坐标 $2$ 即 $y_1+y_2=4$ 联立；别把 $y_1{y}_2=-p^2$ 误用于本题。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线焦点弦的中点问题，点差法是首选工具。

结论推广：抛物线 $y^2=2px$ 上两点作差得 $\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{2p}{y_1+y_2}$，斜率、中点、$p$ 三者互求。

方法推广：过焦点且斜率给定的弦，其中点纵坐标可直接用 $y_1+y_2=2p$（斜率 $1$ 时）推出，比联立韦达快。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-江西卷文-22 解-椭圆内切圆
• 2009-浙江卷文-22 解-抛物线切线
• 2011-四川卷文-21 解-椭圆弦长与定值
• 2009-湖北卷文-20 解-抛物线焦点弦