2011-辽宁卷文-07 单-抛物线焦点弦中点距离

本题导读

本题考查抛物线的定义，以及焦点弦。

📌【题干】

Question

（2011年辽宁卷(文)） 已知 $F$ 是抛物线 $y^2=x$ 的焦点，$A$，$B$ 是该抛物线上的两点，$|AF|+|BF|=3$，则线段 $AB$ 的中点到 $y$ 轴的距离为 ()

A. $\frac{3}{4}$　　　　　　　B. $1$　　　　　　　C. $\frac{5}{4}$　　　　　　　D. $\frac{7}{4}$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：焦半径 $|AF|=x_A+\frac{p}{2}$
2. 步骤2：两条焦半径相加即中点横坐标的 $2$ 倍

✅【答案】

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C$\frac{5}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

$y^2=x$ 中 $2p=1$，准线为 $x=-\frac{1}{4}$，焦点 $F\left(\frac{1}{4},0\right)$。

由抛物线定义，$|AF|=x_A+\frac{1}{4}$，$|BF|=x_B+\frac{1}{4}$。

相加：$|AF|+|BF|=x_A+x_B+\frac{1}{2}=3$，得 $x_A+x_B=\frac{5}{2}$。

$AB$ 中点的横坐标为 $\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{5}{4}$，其到 $y$ 轴的距离即横坐标的绝对值 $\frac{5}{4}$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线的定义（焦半径公式）；中点坐标与距离的转换

核心方法：把到焦点的距离翻译成到准线的距离：$|AF|=x_A+\frac{p}{2}$，两条焦半径之和直接给中点横坐标

避坑指南：$y^2=x$ 的 $2p=1$，焦准距是 $\frac{1}{4}$ 而不是 $\frac{1}{2}$——把 $p$ 当成 $1$ 会算出 $\frac{3}{4}$（选项 A）；“到 $y$ 轴的距离”是横坐标的绝对值，中点横坐标为正时二者相等，但概念上别混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线焦点弦题与 2011-新课标卷文-09、2012-安徽卷文-14、2014-新课标II卷文-10 同族。

结论推广：推广：$y^2=2px$ 上两点 $A$，$B$，$|AF|+|BF|=x_A+x_B+p$，中点到准线的距离为 $\frac{|AF|+|BF|}{2}$，到 $y$ 轴的距离为 $\frac{|AF|+|BF|}{2}-\frac{p}{2}$；通径、焦点弦长公式都可由”定义平移”快速推出。

方法推广：焦点弦问题：第一反应写焦半径公式（距离减准线），把几何条件转成横坐标的代数条件。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-09 单-抛物线焦点弦面积
• 2012-安徽卷文-14 填-抛物线焦点弦
• 2014-新课标II卷文-10 单-抛物线焦点弦