2020-新高考II卷-19 解-独立性检验

本题导读

本题考查古典概型概率计算。核心在于频数汇总法、独立性检验公式法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年新高考II卷）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了 100 天空气中的 $\text{PM}2.5$ 和 ${\text{SO}}_2$ 浓度（单位：$\mu {\text{g/m}}^3$），数据如下表：

$\text{PM}2.5$ \ ${\text{SO}}_2$	$[0,50]$	$(50,150]$	$(150,475]$
$[0,35]$	32	18	4
$(35,75]$	6	8	12
$(75,115]$	3	7	10

（1）估计事件“该市一天空气中 $\text{PM}2.5$ 浓度不超过 75，且 ${\text{SO}}_2$ 浓度不超过 150”的概率；

（2）根据所给数据，完成下面的 $2\times 2$ 列联表：

$\text{PM}2.5$ \ ${\text{SO}}_2$	$[0,150]$	$(150,475]$
$[0,75]$
$(75,115]$

（3）根据（2）中的列联表，判断是否有 99% 的把握认为该市一天空气中 $\text{PM}2.5$ 浓度与 ${\text{SO}}_2$ 浓度有关？

🔍【思路分析】

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1. 概率估计（第一问）： 利用样本频率估计总体概率。在原始 3×3 表格中，找到符合条件的 4 个格子（$\text{PM}2.5\le 75$ 且 ${\text{SO}}_2\le 150$），将频数相加后除以总数 100。

2. 完善列联表（第二问）： 这涉及对数据的“二次归类”。

• 行分类： $[0,75]$ 是前两行的和；$(75,115]$ 是第三行。

• 列分类： $[0,150]$ 是前两列的和；$(150,475]$ 是第三列。

3. 独立性检验（第三问）：

• 计算 $K^2$： 严格按照公式代入表格中的 $a,b,c,d$ 值。
• 查表对比： 将计算出的 $k$ 值与 6.635（99% 对应的临界值）进行比较。若 $K^2>6.635$，则认为有关。

✅【答案】

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有 99% 的把握认为该市一天空气中 PM2.5 浓度与 SO2 浓度有关

✍【详细解析】

Abstract

（1）概率估计 由表格可知，该市 100 天中，空气中 $\text{PM}2.5$ 浓度不超过 75 且 ${\text{SO}}_2$ 浓度不超过 150 的天数为： $32+18+6+8=64$（天）。 则所求概率的估计值为：$P=\frac{64}{100}=0.64$。

（2）完善 $2\times 2$ 列联表 汇总数据如下：

$\text{PM}2.5$ \ ${\text{SO}}_2$	$[0,150]$	$(150,475]$	合计
$[0,75]$	64	16	80
$(75,115]$	10	10	20
合计	74	26	100

（3）独立性检验 根据（2）中列联表，代入 $K^2$ 计算公式： $K^2=\frac{n(ad-bc{)}^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ $K^2=\frac{100\times (64\times 10-16\times 10{)}^2}{80\times 20\times 74\times 26}$ $K^2=\frac{100\times 480^2}{1600\times 74\times 26}$ $K^2=\frac{23040000}{3078400}=\frac{3600}{481}\approx 7.484$

因为 $7.484>6.635$， 根据临界值表，有 99% 的把握认为该市一天空气中 $\text{PM}2.5$ 浓度与 ${\text{SO}}_2$ 浓度有关。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 数据的“颗粒度”转换： 解题难点在于第二问，必须细心合并原始表格的 9 个单元格。如果这里算错一个数，第三问的 $K^2$ 会全盘皆错。
• 计算技巧： 计算 $K^2$ 时，建议先化简分子分母中的 $0$ 或公约数。例如本题中 $n$ 与 $(a+b)(c+d)$ 的部分可以直接约去，减少大数乘法。
• 结论表述： 独立性检验结论必须包含“把握”或“置信度”等字眼，不能绝对地说“一定有关”。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. $K^2$ 与相关性强度： $K^2$ 的大小只代表我们有多大的把握认为“有关”，并不直接等同于“相关性有多强”。
2. 适用范围： 独立性检验主要用于分类变量。如果变量是连续的（如具体的浓度值），通常会先进行分组（如本题）。
3. 计算器的依赖： 高考中这类题目计算量较大，平时练习时应加强对手算约分和长除法的速度训练。

解题要点： 第一问找准四个格子；第二问像填数独一样求和；第三问计算时，注意 $(ad-bc)$ 通常能提取公因数（如本题的 10），平方后会非常好算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 24.02 独立性检验与 2X2 列联表

类题演练 (Links)

• 2013-湖南卷理-18 解-排列组合的应用
• 2013-福建卷文-19 解-直方图与独立性检验
• 2014-江西卷理-06 单-卡方统计量 chi^2