2013-福建卷文-19 解-直方图与独立性检验

本题导读

本题考查分层抽样。核心在于比例折算、对立事件概率的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年福建卷(文)） 某工厂有 $25$ 周岁以上（含 $25$ 周岁）工人 $300$ 名，$25$ 周岁以下工人 $200$ 名. 为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了 $100$ 名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在”$25$ 周岁以上（含 $25$ 周岁）“和”$25$ 周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成 $5$ 组：$[50,60)$，$[60,70)$，$[70,80)$，$[80,90)$，$[90,100]$ 分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)从样本中日平均生产件数不足 $60$ 件的工人中随机抽取 $2$ 人，求至少抽到一名”$25$ 周岁以下组”工人的概率；

(2)规定日平均生产件数不少于 $80$ 件者为”生产能手”，请你根据已知条件完成 $2\times 2$ 列联表，并判断是否有 $90\%$ 的把握认为”生产能手与工人所在的年龄组有关”？ 附：${\chi }^2=\frac{n(ad-bc{)}^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$，$P({\chi }^2⩾k)=0.100$ 时 $k=2.706$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分层抽样：岁以上 $100\times \frac{3}{5}=60$ 人，岁以下 $40$ 人。
2. 直方图中 $[50,60)$ 组纵坐标 $0.0050$，频率 $0.0050\times 10=0.05$ → 岁上 $60\times 0.05=3$ 人、岁下 $40\times 0.05=2$ 人，共 $5$ 人。
3. (1) $P=1-\frac{C_3^2}{C_5^2}=1-\frac{3}{10}=\frac{7}{10}$。
4. (2) 列联表：生产能手岁上 $15$、岁下 $15$；非能手岁上 $45$、岁下 $25$。
5. ${\chi }^2=\frac{100(15\times 25-45\times 15{)}^2}{60\times 40\times 30\times 70}=\frac{25}{14}\approx 1.79<2.706$ → 没有 $90\%$ 的把握。

✅【答案】

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(1)$P=\frac{7}{10}$ (2)列联表见解析；${\chi }^2=\frac{25}{14}\approx 1.79<2.706$，没有 $90\%$ 的把握认为”生产能手与工人所在的年龄组有关”

✍【详细解析】

Abstract

分层抽样按 $300:200=3:2$ 分配：岁以上（含 $25$ 周岁）抽 $60$ 人，岁以下抽 $40$ 人。 由直方图，$[50,60)$ 组的纵坐标为 $0.0050$，频率 $=0.0050\times 10=0.05$。 故日平均生产件数不足 $60$ 件的工人：岁以上 $60\times 0.05=3$ 人，岁以下 $40\times 0.05=2$ 人，共 $5$ 人。 （1）从这 $5$ 人中随机抽取 $2$ 人，总的取法 $C_5^2=10$ 种。“至少一名岁以下”的对立事件是”全是岁以上”，取法 $C_3^2=3$ 种。 $P=1-\frac{C_3^2}{C_5^2}=1-\frac{3}{10}=\frac{7}{10}.$ （2）由直方图，生产能手（不少于 $80$ 件）在岁以上组占 $15$ 人、岁以下组占 $15$ 人，完成 $2\times 2$ 列联表：

	生产能手	非生产能手	合计
$25$ 周岁以上组	$15$	$45$	$60$
$25$ 周岁以下组	$15$	$25$	$40$
合计	$30$	$70$	$100$
${\chi }^2=\frac{100\times (15\times 25-45\times 15{)}^2}{60\times 40\times 30\times 70}=\frac{100\times (375-675{)}^2}{5040000}=\frac{100\times 90000}{5040000}=\frac{25}{14}\approx \mathrm{1.79.}$
因为 $1.79<2.706$，所以没有 $90\%$ 的把握认为”生产能手与工人所在的年龄组有关”。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：频率分布直方图与独立性检验

核心方法：分层抽样：岁以上 $60$ 人、岁以下 $40$ 人；不足 $60$ 件：$[50,60)$ 组频率 $0.0050\times 10=0.05$ → 岁 上 $3$ 人、岁下 $2$ 人，$P=1-\frac{C_3^2}{C_5^2}=\frac{7}{10}$；列联表 ${\chi }^2=\frac{25}{14}\approx 1.79<2.706$，没有 $90\%$ 把握

避坑指南：直方图纵轴是频率/组距，频率要再乘组距 $10$；概率用对立事件”全是岁以上”算最省事：$1-\frac{C_3^2}{C_5^2}$，直接枚举”至少一名”容易漏；临界值 $2.706$ 对应 $P({\chi }^2⩾k)=0.100$，比较对象别取错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：频率分布直方图、古典概型与独立性检验（福建卷概率统计大题，三块拼接）。

结论推广：频率 $=$ 纵坐标 $\times$ 组距；分层抽样按比例分配；${\chi }^2=\frac{n(ad-bc{)}^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$。

方法推广：抽样数按 $300:200=3:2$ 分 → 直方图读频数 → 对立事件算概率 → 列联表 + 临界值比较下结论。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.03 频率分布直方图中的数据计算
• 24.02 独立性检验与 2X2 列联表

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷文-19 解-频率分布直方图
• 2014-安徽卷文-17 解-统计与独立性检验
• 2014-北京卷文-18 解-频率分布直方图