2020-江苏卷-04 填-古典概型

本题导读

本题考查古典概型，以及事件的枚举法。

📌【题干】

Question

（2020年江苏卷）4. 将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数，则点数和为 5 的概率是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定样本空间总数 $n(\Omega )$： 由于是一颗骰子先后抛掷 2 次，每次都有 6 种可能的结果（1到6点）。 根据分步乘法计数原理：$n(\Omega )=6\times 6=36$。

2. 枚举目标事件 $n(A)$： 寻找所有满足“第一次点数 + 第二次点数 = 5”的有序数对 $(x,y)$。

3. 计算概率： 利用公式 $P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}$ 计算并化简。

✅【答案】

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$\frac{1}{9}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $\frac{1}{9}$

【解析过程】

1. 总基本事件数： 抛掷两次骰子，所有可能出现的结果共有 $6\times 6=36$ 种。

2. 满足条件的事件： 点数之和为 5 的情况有以下几种：

• 第一次 1 点，第二次 4 点：$(1,4)$

• 第一次 2 点，第二次 3 点：$(2,3)$

• 第一次 3 点，第二次 2 点：$(3,2)$

• 第一次 4 点，第二次 1 点：$(4,1)$ 共有 $4$ 种情况。

3. 计算概率： $P=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$。

故答案为：$\frac{1}{9}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 理解“先后”： 题目强调“先后抛掷”，意味着 $(1,4)$ 和 $(4,1)$ 是两种不同的基本事件。即使是“同时抛掷两颗”，在概率模型中通常也视为不同，以确保每个基本事件等可能。
• 枚举技巧： - 最小点数是 1，所以 $x$ 从 1 开始尝试：$1+4=5$。
  • 依次增加 $x$：$2+3=5,3+2=5,4+1=5$。
  • 当 $x=5$ 时，$y=0$（不可能），停止。
• 常见误区：
  • 总数数错： 误认为总数是 $6+6=12$。
  • 漏掉数对： 只数了 $(1,4)$ 和 $(2,3)$，忘记了对称的 $(4,1)$ 和 $(3,2)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

在投掷两颗骰子的题目中，点数之和 $S$ 的分布规律很有趣：

• $S=7$ 的概率最大，为 $6/36=1/6$。
• $S=2$ 或 $S=12$ 的概率最小，均为 $1/36$。
• 概率值关于 7 对称，例如 $S=5$ 和 $S=9$ 的概率是一样的，都是 $4/36$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2014-上海卷理-10 填-概率计算公式
• 2014-陕西卷理-06 单-古典概型
• 2008-广东卷文-19 解-分层抽样与古典概型