2020-江苏卷-08 填-三角恒等变换

本题导读

本题考查两角和的正弦公式与二倍角公式。

📌【题干】

Question

（2020年江苏卷）8. 已知 ${\sin }^2(\frac{\pi }{4}+\alpha )=\frac{2}{3}$，则 $\sin 2\alpha$ 的值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

解法一：公式展开法（通用且稳健）

1. 利用两角和的正弦公式将 $\sin (\frac{\pi }{4}+\alpha )$ 展开为关于 $\sin \alpha$ 和 $\cos \alpha$ 的式子。
2. 平方后利用 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 和 $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$ 进行归并。

解法二：二倍角/降幂法（更快捷）

1. 利用降幂公式 ${\sin }^2\theta =\frac{1-\cos 2\theta }{2}$，将已知条件中的平方项化掉。
2. 此时角度变为 $2(\frac{\pi }{4}+\alpha )=\frac{\pi }{2}+2\alpha$。
3. 利用诱导公式 $\cos (\frac{\pi }{2}+2\alpha )=-\sin 2\alpha$ 直接得出答案。

✅【答案】

点击查看答案

$\frac{1}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $\frac{1}{3}$

【解析过程】（推荐解法二）

1. 降幂转化： 根据公式 ${\sin }^2\theta =\frac{1-\cos 2\theta }{2}$，令 $\theta =\frac{\pi }{4}+\alpha$： ${\sin }^2(\frac{\pi }{4}+\alpha )=\frac{1-\cos (2\cdot (\frac{\pi }{4}+\alpha ))}{2}=\frac{1-\cos (\frac{\pi }{2}+2\alpha )}{2}$

2. 诱导公式化简： 根据诱导公式 $\cos (\frac{\pi }{2}+2\alpha )=-\sin 2\alpha$，代入上式： ${\sin }^2(\frac{\pi }{4}+\alpha )=\frac{1-(-\sin 2\alpha )}{2}=\frac{1+\sin 2\alpha }{2}$

3. 代入已知条件求值： 已知 $\frac{1+\sin 2\alpha }{2}=\frac{2}{3}$。 两边同乘以 2 得：$1+\sin 2\alpha =\frac{4}{3}$。 解得：$\sin 2\alpha =\frac{4}{3}-1=\frac{1}{3}$。

故答案为：$\frac{1}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧： 看到 ${\sin }^2\theta$ 且目标要求倍角时，首选降幂公式。
• 常用结论： 在三角恒等变换中，${\sin }^2(\frac{\pi }{4}+\alpha )=\frac{1}{2}(1+\sin 2\alpha )$ 是一个非常高频的二级结论，熟记它可以快速求解此类填空题。
• 易错点： 诱导公式 $\cos (\frac{\pi }{2}+2\alpha )$ 误记为 $\sin 2\alpha$（漏掉负号），虽然在本题中由于前有减号负负得正，但逻辑错误会导致其他题目丢分。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果题目求的是 $\cos 2\alpha$，该如何处理？ 在求得 $\sin 2\alpha =1/3$ 后，由于没有给出 $\alpha$ 的象限，$\cos 2\alpha =\pm \sqrt{1-(1/3{)}^2}=\pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$。 如果题目已知的是 ${\cos }^2(\frac{\pi }{4}+\alpha )=\frac{2}{3}$，则通过降幂公式 $\frac{1+\cos (\frac{\pi }{2}+2\alpha )}{2}=\frac{1-\sin 2\alpha }{2}=\frac{2}{3}$，可求得 $\sin 2\alpha =-\frac{1}{3}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2013-江西卷文-03 单-二倍角求值
• 2013-重庆卷文-15 填-二次恒成立三角
• 2019-天津卷理-15 解-解三角形