2013-重庆卷文-15 填-二次恒成立三角

本题导读

本题考查二次不等式恒成立，以及二倍角公式。

📌【题干】

Question

（2013年重庆卷(文)） 设 $0⩽\alpha ⩽\pi$，不等式 $8x^2-(8\sin \alpha )x+\cos 2\alpha ⩾0$ 对 $x\in \mathbf{R}$ 恒成立，则 $\alpha$ 的取值范围为 　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\Delta =64{\sin }^2\alpha -32\cos 2\alpha ⩽0$ → $2{\sin }^2\alpha ⩽\cos 2\alpha$。
2. $\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha$ → $4{\sin }^2\alpha ⩽1$ → $|\sin \alpha |⩽\frac{1}{2}$。
3. $\alpha \in [0,\pi ]$ → $\alpha \in \left[0,\frac{\pi }{6}\right]\cup \left[\frac{5\pi }{6},\pi \right]$。

✅【答案】

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$\left[0,\frac{\pi }{6}\right]\cup \left[\frac{5\pi }{6},\pi \right]$

✍【详细解析】

Abstract

二次三项式 $8x^2-(8\sin \alpha )x+\cos 2\alpha$ 的二次项系数 $8>0$，图象开口向上。它对一切 $x\in \mathbf{R}$ 非负等价于 $\Delta =(8\sin \alpha {)}^2-4\times 8\times \cos 2\alpha ⩽0.$ 即 $64{\sin }^2\alpha -32\cos 2\alpha ⩽0⟹2{\sin }^2\alpha ⩽\cos 2\alpha .$ 由降幂公式 $\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha$，得 $2{\sin }^2\alpha ⩽1-2{\sin }^2\alpha ⟹4{\sin }^2\alpha ⩽1⟹|\sin \alpha |⩽\frac{1}{2}.$ 由 $0⩽\alpha ⩽\pi$，$\sin \alpha ⩾0$，故 $0⩽\sin \alpha ⩽\frac{1}{2}$，即 $0⩽\alpha ⩽\frac{\pi }{6}\text{或}\frac{5\pi }{6}⩽\alpha ⩽\pi .$ 所以 $\alpha$ 的取值范围为 $\left[0,\frac{\pi }{6}\right]\cup \left[\frac{5\pi }{6},\pi \right].$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二次不等式恒成立与三角函数的取值

核心方法：二次项系数 $8>0$，对 $x\in \mathbf{R}$ 恒成立 $\iff \Delta ⩽0$：\n$(8\sin \alpha {)}^2-4\times 8\cos 2\alpha ⩽0$ → $2{\sin }^2\alpha ⩽\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha$ → $4{\sin }^2\alpha ⩽1$ → $|\sin \alpha |⩽\frac{1}{2}$\n由 $0⩽\alpha ⩽\pi$ → $\alpha \in \left[0,\frac{\pi }{6}\right]\cup \left[\frac{5\pi }{6},\pi \right]$

避坑指南：判别式 $\Delta ⩽0$ 只对开口向上的二次三项式在全体实数上非负成立（系数 $8>0$ 已保证）；$\cos 2\alpha$ 记得用降幂化成 $1-2{\sin }^2\alpha$ 再合并；最后由 $|\sin \alpha |⩽\frac{1}{2}$ 写区间时两段都要、端点都闭。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二次不等式恒成立与二倍角公式的综合。

结论推广：判别式法；降幂公式；由正弦值写角的范围。

方法推广：开口向上 → $\Delta ⩽0$ → 降幂化 $|\sin \alpha |⩽\frac{1}{2}$ → 按 $\alpha \in [0,\pi ]$ 写两段区间。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式
• 05.03 专题-恒成立问题

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷文-21 解-导数含参单调性
• 2013-江西卷文-02 单-含参方程唯一解
• 2013-广东卷文-21 解-三次函数闭区间最值