2020-江苏卷-17 解-函数应用

本题导读

本题考查函数模型的建立。核心在于建模-求导-判别的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年江苏卷）17. 某地准备在山谷中建一座桥梁，其竖直截面图如图所示。谷底 $O$ 在水平线 $MN$ 上，桥 $AB$ 与 $MN$ 平行，$O{O}^{\prime }$ 为铅垂线（$O^{\prime }$ 在 $AB$ 上）。 左侧曲线 $AO$ 上任一点 $D$ 到 $MN$ 的距离 $h_1$（米）与 $D$ 到 $O{O}^{\prime }$ 的距离 $a$（米）满足 $h_1=\frac{1}{40}{a}^2$； 右侧曲线 $BO$ 上任一点 $F$ 到 $MN$ 的距离 $h_2$（米）与 $F$ 到 $O{O}^{\prime }$ 的距离 $b$（米）满足 $h_2=-\frac{1}{800}{b}^3+6b$。 已知点 $B$ 到 $O{O}^{\prime }$ 的距离为 $40$ 米。

（1）求桥 $AB$ 的长度；

（2）计划在谷底两侧建造平行于 $O{O}^{\prime }$ 的桥墩 $CD$ 和 $EF$，且 $CE$ 为 $80$ 米，其中 $C,E$ 在 $AB$ 上（不包括端点）。桥墩 $EF$ 每米造价 $k$（万元）、桥墩 $CD$ 每米造价 $\frac{3}{2}k$（万元）($k>0$)。问 $O^{\prime }E$ 为多少米时，桥墩 $CD$ 与 $EF$ 的总造价最低？

🔍【思路分析】

破题导航

（1）求桥长 $AB$：

• 关键点： 桥 $AB$ 是水平的，这意味着点 $A$ 和点 $B$ 到地面的高度相同，即 $h_A=h_B$。
• 步骤： 1. 利用右侧公式求出 $B$ 点的高度（已知 $b=40$）。 2. 将此高度代入左侧公式，求出 $A$ 到 $O{O}^{\prime }$ 的距离 $a$。 3. $AB=a+b$。

（2）最优化造价：

• 变量设置： 设 $O^{\prime }E=x$（米）。根据 $CE=80$ 可得 $O^{\prime }C=80-x$。
• 桥墩高度： * 桥墩其实是“补全”山谷。桥的高度固定为 $H$（$O^{\prime }O$ 的长度）。
  • 桥墩 $EF$ 的长度 = 总高度 - 曲线 $BO$ 在该点的高度。
  • 桥墩 $CD$ 的长度 = 总高度 - 曲线 $AO$ 在该点的高度。
• 函数构建： $W(x)=\text{EF长度}\cdot k+\text{CD长度}\cdot \frac{3}{2}k$。
• 求导： 在 $x\in (0,40)$ 范围内求导，寻找极小值点。

✅【答案】

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$h_A=h_B=160$

✍【详细解析】

Abstract

（1）求桥 $AB$ 的长度

1. 计算 $B$ 点高度： 点 $B$ 到 $O{O}^{\prime }$ 的距离 $b=40$，代入右侧公式： $h_B=-\frac{1}{800}(40^3)+6(40)=-\frac{64000}{800}+240=-80+240=160$（米）。
2. 计算 $A$ 点距离： 由于 $AB\parallel MN$，所以 $h_A=h_B=160$。代入左侧公式： $160=\frac{1}{40}{a}^2⟹a^2=6400⟹a=80$（米）。
3. 结果： $AB=O^{\prime }A+O^{\prime }B=80+40=120$（米）。

（2）求最低造价时 $O^{\prime }E$ 的长度

1. 建立高度模型： 桥面离谷底的高度 $H=160$ 米。 设 $O^{\prime }E=x$ 米（$0<x<40$），则 $O^{\prime }C=80-x$。

• 桥墩 $EF$ 的高度为 $H-h_2(x)=160-(-\frac{1}{800}{x}^3+6x)=160+\frac{1}{800}{x}^3-6x$。
• 桥墩 $CD$ 的高度为 $H-h_1(80-x)=160-\frac{1}{40}(80-x{)}^2$。

2. 列造价函数： $W(x)=k(160+\frac{1}{800}{x}^3-6x)+\frac{3}{2}k[160-\frac{1}{40}(80-x{)}^2]$ 化简 $W(x)$（提取常数 $k$）： $W(x)=k[160+\frac{1}{800}{x}^3-6x+240-\frac{3}{80}(6400-160x+x^2)]$ $W(x)=k[\frac{1}{800}{x}^3-\frac{3}{80}{x}^2+(6-6)x+\text{常数}]=k(\frac{1}{800}{x}^3-\frac{3}{80}{x}^2+160)$（注：常数项不影响求导）。
3. 求导寻极值： $W^{\prime }(x)=k(\frac{3}{800}{x}^2-\frac{6}{80}x)=k\cdot \frac{3}{800}(x^2-20x)$ 令 $W^{\prime }(x)=0$，在区间 $(0,40)$ 内解得 $x=20$。
4. 单调性判定：

• 当 $0<x<20$ 时，$W^{\prime }(x)<0$，$W(x)$ 单调递减；
• 当 $20<x<40$ 时，$W^{\prime }(x)>0$，$W(x)$ 单调递增。 因此，当 $x=20$ 时，总造价最低。

答： 当 $O^{\prime }E$ 为 $20$ 米时，桥墩总造价最低。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 理解“高度”： 应用题中最容易出错的地方是混淆“曲线的高度”与“桥墩的高度”。桥墩是从曲线向上长到桥面的，所以其长度是 $H_{\text{桥}}-H_{\text{曲线}}$。
• 计算技巧： 在求导之前，尽量先展开并合并同类项。本题中一次项恰好抵消，极大简化了后续运算。
• 定义域限制： 题目提到 $C,E$ 在 $AB$ 上且 $CE=80$，考虑到 $O^{\prime }B=40$，$E$ 点必须在 $O^{\prime }$ 右侧且不能超过 $B$，故 $x\in (0,40)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 翻译： 将文字条件（距离、造价、平行）翻译为代数式。
2. 化归： 将多元问题（$EF$ 和 $CD$）通过几何关系（$CE=80$）化归为一元函数问题。
3. 工具： 遇到高次函数或分式函数，第一时间想到导数。

在江苏卷中，17 题通常不会在导数本身设置太难的障碍，难点往往在于函数解析式的列法。只要理清了空间位置关系，这类题目就是稳拿分的“大题”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2008-北京卷文-13 填-折线函数与导数
• 2013-天津卷文-20 解-分段函数导数切线
• 2013-新课标I卷理-11 单-分段函数