2020-浙江卷-02 单-复数运算

本题导读

本题考查复数的分类。核心在于定义判定法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年浙江卷）2. 已知 $a\in \mathbf{R}$，若 $(a-1)+(a-2)i$（$i$ 为虚数单位）是实数，则 $a=$（ ）

A. 1　　　　　　　B. -1　　　　　　　C. 2　　　　　　　D. -2

🔍【思路分析】

破题导航

1. 复数的分类标准： 对于复数 $z=A+Bi$（$A,B\in \mathbf{R}$）：

• 实数： 当且仅当 $B=0$。

• 虚数： 当且仅当 $B\ne 0$。

• 纯虚数： 当且仅当 $A=0$ 且 $B\ne 0$。

2. 建立方程： 题目要求该复数为实数，因此其虚部 $(a-2)$ 必须等于 $0$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 C

【解析过程】

1. 识别实部与虚部： 已知复数为 $(a-1)+(a-2)i$。 其中，实部为 $a-1$，虚部为 $a-2$。
2. 列方程： 因为该复数为实数，所以虚部为 $0$。 即 $a-2=0$。
3. 求解： 解得 $a=2$。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 虚部不含 $i$： 很多同学在描述虚部时会带上 $i$，记住虚部是一个实数。在本题中，虚部是 $a-2$，而不是 $(a-2)i$。
• 题目变式：
  • 若题目问“是纯虚数”，则需满足 $a-1=0$ 且 $a-2\ne 0$，此时 $a=1$。
  • 若题目问“在复平面第三象限”，则需满足 $a-1<0$ 且 $a-2<0$。
• 细节检查： 确保参数 $a\in \mathbf{R}$，否则复数的分类判定会失效。

📖【试题探源与推广】

Tip

在高考考场上，这类题属于“基础题”。

• 看到“实数” $\to$ 找 $i$ 前面的括号 $\to$ 令其为 $0$。
• 看到“纯虚数” $\to$ 找没带 $i$ 的括号 $\to$ 令其为 $0$（同时检查虚部不为 $0$）。

快速求解： 瞄准 $(a-2)i$，心里默念 $a-2=0$，勾选 C，耗时 5 秒。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2013-安徽卷理-01 单-复数的代数表示及其几何意义
• 2013-山东卷理-01 单-复数除法
• 2013-江西卷理-01 单-集合交集