2020-浙江卷-05 单-组合体体积

本题导读

本题考查三视图还原几何体。核心在于分割补形法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年浙江卷）5. 某几何体三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm³）是（ ）

A. 7/3　　　　　　B. 14/3　　　　　　C. 3　　　　　　D. 6

🔍【思路分析】

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1. 还原几何体：

• 俯视图： 是一个底为 2、高为 1 的直角三角形（或等腰三角形，需结合侧视看），这决定了该几何体底面的形状。

• 正视图与左视图： 下半部分是矩形，高度为 2；上半部分是三角形，高度为 1。

• 结论： 这是一个组合体。下半部分是一个直立的三棱柱，上半部分是一个三棱锥。

2. 确定底面积 $S$： 从俯视图看，底面三角形的底边为 2，高为 1。 $S_{底}=\frac{1}{2}\times 2\times 1=1{\text{ cm}}^2$。

3. 计算各部分体积：

• 三棱柱部分： 底面积 $S=1$，高 $h_{柱}=2$。
• 三棱锥部分： 底面积 $S=1$，高 $h_{锥}=1$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 A

【解析过程】

1. 分析结构： 该几何体由上下两部分组成：

• 下部：底面积为 $1$、高为 $2$ 的三棱柱；
• 上部：底面积为 $1$（共用底面）、高为 $1$ 的三棱锥。

2. 计算下部体积 $V_1$： $V_1=S_{底}\times h_{柱}=1\times 2=2{\text{ cm}}^3$。
3. 计算上部体积 $V_2$： $V_2=\frac{1}{3}\times S_{底}\times h_{锥}=\frac{1}{3}\times 1\times 1=\frac{1}{3}{\text{ cm}}^3$。
4. 求总体积 $V$： $V=V_1+V_2=2+\frac{1}{3}=\frac{7}{3}{\text{ cm}}^3$。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 三视图口诀： 俯视图定底面，正、左视图定高和侧面。
• 常见误区： 容易把上半部分看成另一个棱柱，或者在算棱锥体积时忘记乘以 $1/3$。
• 空间想象： 这种“柱上加锥”的结构在高考三视图中属于高频基础模型，务必练就快速识别的能力。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果考试时间紧，可以通过排除法：

• 棱柱体积是 2，总结果肯定比 2 大。
• 整个包络长方体的体积是 $2\times 1\times 3=6$。这个几何体只占了其中很小一部分，排除 D。
• 剩下 A, B, C，由于上半部分是尖顶（锥体），增加的体积通常是分式，A 的可能性极大。

快速求解： 底面积 1，柱体体积 2，锥体体积 1/3，加起来 7/3。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2012-新课标卷文-07 单-三视图体积
• 2015-天津卷文-10 填-三视图体积
• 2015-浙江卷文-02 单-三视图体积