2020-浙江卷-07 单-不等式性质

本题导读

本题考查等差数列通项公式及性质。核心在于结构分析法 (分析 b_n 是否为等差数列)、作差比较法 (判定 C, D 的存在性)的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年浙江卷）7. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公差 $d \neq = 0$ ， $\frac{a _{1}}{d} \leq 1$ 。记 $b_{1} = S_{2}$ ， $b_{n + 1} = S_{2 n + 2} - S_{2 n}$ ， $n \in N^{*}$ 。下列等式不可能成立的是（）

A. $2 a_{4} = a_{2} + a_{6}$ 　　　　　　　　　　　　　　B. $2 b_{4} = b_{2} + b_{6}$

C. $a_{4}^{2} = a_{2} a_{8}$ 　　　　　　　　　　　　　　　D. $b_{4}^{2} = b_{2} b_{8}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析数列 ${a_{n}}$ ： $2 a_{4} = a_{2} + a_{6}$ 是等差数列的性质（下标 $4 + 4 = 2 + 6$ ），A 必然成立。

2. 揭秘新数列 ${b_{n}}$ ：

$b_{1} = S_{2} = a_{1} + a_{2}$ 。

$b_{2} = S_{4} - S_{2} = a_{3} + a_{4}$ 。

$b_{3} = S_{6} - S_{4} = a_{5} + a_{6}$ 。

推广： $b_{n} = a_{2 n - 1} + a_{2 n}$ 。由于 $a_{2 n - 1}$ 和 $a_{2 n}$ 都是等差数列，它们的和 ${b_{n}}$ 也必然是一个等差数列。

结论： $b_{4}, b_{2}, b_{6}$ 满足等差中项关系 $2 b_{4} = b_{2} + b_{6}$ ，B 必然成立。

3. 判定等比中项（C 与 D）： 这类“不可能成立”的问题，通常需要通过计算判别式（或作差）并结合已知条件 $\frac{a _{1}}{d} \leq 1$ 来否定。

C 的可能性： 考察 $a_{4}^{2} - a_{2} a_{8}$ 。

D 的可能性： 考察 $b_{4}^{2} - b_{2} b_{8}$ 。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 D

【解析过程】

分析 C 选项： $a_{4}^{2} - a_{2} a_{8} = (a_{1} + 3 d)^{2} - (a_{1} + d) (a_{1} + 7 d)$ $= (a_{1}^{2} + 6 a_{1} d + 9 d^{2}) - (a_{1}^{2} + 8 a_{1} d + 7 d^{2}) = 2 d^{2} - 2 a_{1} d$ 。令其等于 0，得 $2 d (d - a_{1}) = 0$ 。因为 $d \neq = 0$ ，只要 $a_{1} = d$ （满足 $\frac{a _{1}}{d} = 1 \leq 1$ ），则 $a_{4}^{2} = a_{2} a_{8}$ 成立。C 可能成立。

分析 D 选项： 由思路分析知 $b_{n} = a_{2 n - 1} + a_{2 n} = (a_{1} + (2 n - 2) d) + (a_{1} + (2 n - 1) d) = 2 a_{1} + (4 n - 3) d$ 。

$b_{2} = 2 a_{1} + 5 d$

$b_{4} = 2 a_{1} + 13 d$

$b_{8} = 2 a_{1} + 29 d$ 考察 $b_{4}^{2} - b_{2} b_{8}$ ： $b_{4}^{2} - b_{2} b_{8} = (2 a_{1} + 13 d)^{2} - (2 a_{1} + 5 d) (2 a_{1} + 29 d)$ $= (4 a_{1}^{2} + 52 a_{1} d + 169 d^{2}) - (4 a_{1}^{2} + 68 a_{1} d + 145 d^{2})$ $= 24 d^{2} - 16 a_{1} d = 8 d (3 d - 2 a_{1})$ 。

利用已知条件推理： 已知 $\frac{a _{1}}{d} \leq 1$ 。

若 $d > 0$ ，则 $a_{1} \leq d$ 。此时 $3 d - 2 a_{1} \geq 3 d - 2 d = d > 0$ 。则 $8 d (3 d - 2 a_{1}) > 0$ 。

若 $d < 0$ ，则 $a_{1} \geq d$ 。此时 $3 d - 2 a_{1} \leq 3 d - 2 d = d < 0$ （注意 $d$ 是负数）。则 $8 d \times (负数) = (负数) \times (负数) > 0$ 。无论 $d$ 正负， $b_{4}^{2} - b_{2} b_{8}$ 恒大于 0，即等式永远不可能成立。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

数列的构造性： 看到 $S_{2 n} - S_{2 n - 2}$ 要立刻反应出这是最后两项的和。

参数敏感： $\frac{a _{1}}{d} \leq 1$ 这个条件在 A, B 中没用上，说明它一定是判定 C 或 D 的杀手锏。在 C 中它刚好取到等号，在 D 中它排除了零点。

计算量控制： 计算 $b_{4}^{2} - b_{2} b_{8}$ 时，利用 $(A + B)^{2} - (A + C) (A + D)$ 的展开技巧可以快速抵消平方项，减少出错几率。

📖【试题探源与推广】

Tip

浙江卷的选择题中，如果问“哪个不可能”，通常涉及到一个二次式的判别式恒正或恒负。

如果你发现两个等差数列相加减，结果仍然是等差数列。

如果一个数列是等差数列，它通常不能同时是等比数列（除非公差为 0）。本题中 ${b_{n}}$ 是公差不为 0 的等差数列，它在特定条件下无法满足等比中项。

快速求解： 既然 $b_{n}$ 也是等差数列，D 的逻辑其实和 C 一样，都是在问“这个等差数列能不能有三项成等比”。算一下差值 $8 d (3 d - 2 a_{1})$ ，发现受限于条件永远不为 0。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

19.01 等差数列全总结

03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

2008-浙江卷文-18 解-数列分组求和

2009-四川卷文-03 单-等差等比中项

2013-江西卷理-03 单-等比中项

∑ ( Math )

Explorer

2020-浙江卷-07 单-不等式性质

📌【题干】

🔍【思路分析】

✅【答案】

✍【详细解析】

💡【考点归纳与避坑指南】

📖【试题探源与推广】

🔗【关联脉络】

Backlinks