2021-上海卷-01 填-复数运算

本题导读

本题考查复数的概念，以及复数的加法运算。

📌【题干】

Question

（2021年上海卷）1. 已知 $z_1=1+i$，$z_2=2+3i$（其中 $i$ 为虚数单位），则 $z_1+z_2=$ ___________．

🔍【思路分析】

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复数的加法遵循“实部加实部，虚部加虚部”的原则。 若 $z_1=a+bi$，$z_2=c+di$，则 $z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i$。

✅【答案】

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$3+4i$

✍【详细解析】

Abstract

已知 $z_1=1+i$，$z_2=2+3i$， 则 $z_1+z_2=(1+2)+(1+3)i=3+4i$。

故答案为：$3+4i$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 基本运算法则： 复数的加减法类似于多项式的合并同类项，把 $i$ 看作一个特殊的字母，实数项与实数项结合，含 $i$ 项与含 $i$ 项结合即可。
• 上海卷特点： 上海卷填空题第一题通常不设陷阱，但要注意复数结果必须化简为标准形式 $a+bi$。

在复数学习中，理解代数运算背后的几何意义能帮助我们处理更复杂的综合题：

1. 加法的几何意义： 若复数 $z_1,z_2$ 分别对应复平面上的向量 $\overrightarrow{O{Z}_1}$ 和 $\overrightarrow{O{Z}_2}$，则 $z_1+z_2$ 对应的向量即为这二者根据平行四边形法则相加的结果。

2. 模长的关系（三角不等式）： 基于几何意义，我们可以得到极其重要的模长不等式： $||z_1|-|z_2||\le |z_1\pm z_2|\le |z_1|+|z_2|$ 这在上海卷后续可能出现的复数最值问题中是核心破题点。

3. 常用性质：

• $\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$（和的共轭等于共轭的和）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2014-福建卷理-01 单-共轭复数
• 2013-安徽卷理-01 单-复数的代数表示及其几何意义
• 2013-山东卷理-01 单-复数除法