2021-上海卷-19 解-数列应用

本题导读

本题考查等差数列的通项与前 n 项和。核心在于模型构建法、参数估算法 (计算器辅助)的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2021年上海卷）19. 已知某企业今年（2021年）第一季度的营业额为 $1.1$ 亿元，以后每个季度营业额都比前一季度多 $0.05$ 亿元；该企业第一季度的利润为 $0.16$ 亿元，以后每一季度的利润都比前一季度增长 $4\%$。

（1）求从 2021 年第一季度起，前 $20$ 个季度的营业额总和；

（2）问哪一年哪个季度的利润首次超过该季度营业额的 $18\%$？

1. 构建数学模型：

• 营业额序列 $\{a_n\}$：首项 $a_1=1.1$，公差 $d=0.05$，是一个等差数列。
• 利润序列 $\{b_n\}$：首项 $b_1=0.16$，增长率 $r=4\%$（即公比 $q=1.04$），是一个等比数列。

🔍【思路分析】

破题导航

第一问： 求等差数列的前 $20$ 项和 $S_{20}$。 第二问： 建立不等式 $b_n>a_n\cdot 18\%$，化简后求解正整数 $n$ 的最小值，最后将季度 $n$ 换算回具体的年份。

✍【详细解析】

Abstract

（1）求前 $20$ 个季度的营业额总和 由题意，设 $\{a_n\}$ 为第 $n$ 季度的营业额，其为等差数列。 $a_1=1.1,d=0.05$。 前 $20$ 个季度的营业额总和为： $S_{20}=20\times 1.1+\frac{20\times 19}{2}\times 0.05=22+9.5=31.5\text{ (亿元)}$ 所以，前 $20$ 个季度的营业额总和为 $31.5$ 亿元。

（2）求利润首次超过营业额 $18\%$ 的时间 设 $\{b_n\}$ 为第 $n$ 季度的利润，其为等比数列。 $b_n=0.16\cdot (1.04{)}^{n-1}$。 第 $n$ 季度的营业额通项为 $a_n=1.1+(n-1)\cdot 0.05$。 根据题意列不等式： $0.16\cdot (1.04{)}^{n-1}>[1.1+(n-1)\cdot 0.05]\times 0.18$ 利用计算器代入检验：

• 当 $n=25$ 时，$b_{25}\approx 0.410$；$a_{25}\times 0.18=(1.1+1.2)\times 0.18=0.414$。此时 $b_{25}<0.18a_{25}$。
• 当 $n=26$ 时，$b_{26}\approx 0.426$；$a_{26}\times 0.18=(1.1+1.25)\times 0.18=0.423$。此时 $b_{26}>0.18a_{26}$。 所以 $n$ 的最小整数值为 $26$。

换算时间： $26÷4=6$ 年 $\dots$ 第 $2$ 个季度。 由于起始年是 2021 年（即 $n=1,2,3,4$），第 $26$ 季度对应的年份为 $2021+6=2027$ 年。 所以，时间是 2027 年第二季度。

✅【答案】

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(1) 前 $20$ 个季度的营业额总和为 $31.5$ 亿元

(2) 首次超过该季度营业额 $18\%$ 的时间为 2027 年第二季度

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 增长量 vs 增长率： 营业额是“多 0.05”，即等差；利润是“增长 4%”，即等比。这是应用题中最基础的模型识别。

• 季度与年份的换算： 很多同学算出 $n=26$ 后会错算年份。建议建立如下映射：$Year=2021+\lfloor \frac{n-1}{4}\rfloor$。

在实际经济活动中，等差数列代表的是线性增长，而等比数列（增长率固定）代表的是指数增长。

本题反映了一个经典规律：只要时间足够长，指数增长的利润最终一定会超过线性增长的营业额基数。这种“追及”的时间点取决于初值和增长速率的博弈。

上海卷允许使用科学计算器（如 Casio fx-991CN X），在处理如 $0.16\cdot (1.04{)}^{n-1}>0.18\cdot [1.1+0.05(n-1)]$ 这种超越不等式时，有三种高效方法：

• Table（表格）模式： 进入 MENU → 表格，输入 $f(x)=\text{左式}-\text{右式}$，观察函数值从负变正的转折点。这是最快且不易出错的方法。
• Solve（解方程）模式： 输入等式，按 SHIFT + SOLVE。虽然它给出的是小数解（如 $n\approx 25.8$），但由于 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，向上取整即可得到 $n=26$。
• 对数转化： 如果手头没有高级计算器，可两边取对数 $\lg$，将指数降为系数，转化为一元一次不等式。

在应用题中，必须考虑结果是否符合常识。如果算出 $n=2$ 或 $n=2000$，通常意味着模型建立或计算过程出现了数量级的错误。对于此类企业利润率问题，通常时间跨度在 3-10 年（12-40 季度）之间是合理的出题范围。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2008-江苏卷-19 解-数列删项等比
• 2008-浙江卷文-04 单-等比数列公比
• 2009-安徽卷文-19 解-等差等比数列