2021-乙卷文-19 解-数列综合

本题导读

本题考查等比数列的通项公式。核心在于方程组求解法、错位相减求和法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2021年乙卷文）设 $\{a_n\}$ 是首项为 1 的等比数列, 数列 $\{b_n\}$ 满足 $b_n=\frac{n{a}_n}{3}$. 已知 $a_1,3a_2,9a_3$ 成等差数列.

（1） 求 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 的通项公式;

（2） 记 $S_n$ 和 $T_n$ 分别为 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和. 证明: $T_n<\frac{S_n}{2}$.

🔍【思路分析】

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1. 利用 $a_1,3a_2,9a_3$ 成等差数列建立关于公比 $q$ 的方程，求出 $q$ 进而得到 $\{a_n\}$ 的通项，代入求出 $\{b_n\}$。
2. 利用错位相减法求出 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$，并求出等比数列的和 $S_n$。
3. 通过作差或放缩法证明 $T_n<\frac{S_n}{2}$.

✅【答案】

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$2(3a_2)=a_1+9a_3$，即 $6q=1+9q^2$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 设等比数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1=1$，公比为 $q$. 则 $a_2=q,a_3=q^2$. 因为 $a_1,3a_2,9a_3$ 成等差数列， 所以 $2(3a_2)=a_1+9a_3$，即 $6q=1+9q^2$. 整理得 $9q^2-6q+1=0⟹(3q-1{)}^2=0⟹q=\frac{1}{3}$. 因此，数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n={\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}$。 因为 $b_n=\frac{n{a}_n}{3}=\frac{n}{3}\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}=n{\left(\frac{1}{3}\right)}^n$.

（2） 由题意知 $S_n$ 为等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和， $S_n=\frac{1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^n}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}\left[1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^n\right]$. $T_n$ 为数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和，即： $T_n=1\cdot \frac{1}{3}+2\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^2+3\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^3+\cdots +n\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^n$ ① $\frac{1}{3}{T}_n=1\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^2+2\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^3+\cdots +(n-1)\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^n+n\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^{n+1}$ ② ① - ② 得： $\frac{2}{3}{T}_n=\frac{1}{3}+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2+{\left(\frac{1}{3}\right)}^3+\cdots +{\left(\frac{1}{3}\right)}^n-n\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^{n+1}$ $=\frac{\frac{1}{3}\left[1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^n\right]}{1-\frac{1}{3}}-n\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^{n+1}=\frac{1}{2}\left[1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^n\right]-n\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^{n+1}$。 两边同乘以 $\frac{3}{2}$ 得： $T_n=\frac{3}{4}\left[1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^n\right]-\frac{3n}{2}{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n+1}=\frac{3}{4}-\frac{3}{4}{\left(\frac{1}{3}\right)}^n-\frac{n}{2}{\left(\frac{1}{3}\right)}^n=\frac{3}{4}-\left(\frac{3}{4}+\frac{n}{2}\right){\left(\frac{1}{3}\right)}^n$. 而 $\frac{S_n}{2}=\frac{3}{4}\left[1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^n\right]=\frac{3}{4}-\frac{3}{4}{\left(\frac{1}{3}\right)}^n$. 因为对任意 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，有 $\frac{n}{2}{\left(\frac{1}{3}\right)}^n>0$， 所以 $T_n=\frac{3}{4}-\frac{3}{4}{\left(\frac{1}{3}\right)}^n-\frac{n}{2}{\left(\frac{1}{3}\right)}^n<\frac{3}{4}-\frac{3}{4}{\left(\frac{1}{3}\right)}^n=\frac{S_n}{2}$. 即 $T_n<\frac{S_n}{2}$ 成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列通项、等差中项、错位相减求和、不等式证明。
2. 核心方法：运用错位相减法求“等差 $\times$ 等比”型数列的前 $n$ 项和。
3. 避坑指南：错位相减时注意错位项的对齐与符号运算，证明不等式时利用作差法或放缩法。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考数列解答题压轴档的常规考法，侧重考查求和与不等式综合运用。
2. 结论推广：形如 $b_n=(an+b)q^n$ 的数列求和普遍采用错位相减法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2000-广东卷理-18 解-等比数列的基本量计算
• 2012-江西卷文-17 解-Sn求通项与错位相减
• 2013-湖南卷文-19 解-Sn与an求和