2021-乙卷理-01 单-复数运算

本题导读

本题考查共轭复数，以及复数相等的充要条件。

📌【题干】

Question

（2021年乙卷理）设 $2(z+\bar{z})+3(z-\bar{z})=4+6\text{i}$，则 $z=($　　$)$

A. $1-2\text{i}$　　　　　　B. $1+2\text{i}$　　　　　　C. $1+\text{i}$　　　　　　D. $1-\text{i}$

🔍【思路分析】

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1. 设未知数：复数方程中最通用、最无脑的解法就是“待定系数法”。设目标复数为代数形式 $z=a+b\text{i}$（其中 $a,b\in \mathbb{R}$）。

2. 表达共轭及组合式：根据共轭复数定义得出 $\bar{z}=a-b\text{i}$。利用性质快速求出两复数的和 $z+\bar{z}$ 与差 $z-\bar{z}$。

3. 建立方程组：将求得的代数式代入原方程，整理出标准的实虚部分离形式。根据复数相等的充要条件（实部等于实部，虚部等于虚部）列出关于 $a,b$ 的方程组并求解。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

1. 利用待定系数法设元：

设复数 $z=a+b\text{i}$，其中 $a,b$ 均为实数。

根据共轭复数的定义，其共轭复数为 $\bar{z}=a-b\text{i}$。

2. 计算括号内的和与差：

复数与其共轭复数相加，虚部抵消：

$z+\bar{z}=(a+b\text{i})+(a-b\text{i})=2a$

复数与其共轭复数相减，实部抵消：

$z-\bar{z}=(a+b\text{i})-(a-b\text{i})=2b\text{i}$

3. 代入方程并求解：

将上述结果代入原方程 $2(z+\bar{z})+3(z-\bar{z})=4+6\text{i}$：

$2(2a)+3(2b\text{i})=4+6\text{i}$

整理得：

$4a+6b\text{i}=4+6\text{i}$

根据两个复数相等的充要条件（实部等于实部，虚部等于虚部），建立方程组：

$\{\begin{array}{l}4a=4\\ 6b=6\end{array}$

解得：

$\{\begin{array}{l}a=1\\ b=1\end{array}$

4. 结论：

故复数 $z=1+\text{i}$。

对应选项 C 正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：牢记复数的两条黄金基础性质：

  1. $z+\bar{z}=2\text{Re}(z)$ （总是纯实数）；

  2. $z-\bar{z}=2\text{Im}(z)\text{i}$ （总是纯虚数或0）。

     直接调用这两条性质，可以跳过设 $a+b\text{i}$ 展开的过程，直接得出结果。

• 规律总结：凡是复数等式中同时出现 $z$ 和 $\bar{z}$（或者 $|z|$）的题目，“待定系数法”（设 $z=a+b\text{i}$）是绝对通法，百试百灵。

• 避坑指南：在计算 $z-\bar{z}$ 时，不要漏掉结果中的虚数单位 $\text{i}$。它等于 $2b\text{i}$ 而非 $2b$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2014-福建卷理-01 单-共轭复数
• 2013-安徽卷理-01 单-复数的代数表示及其几何意义
• 2014-江西卷理-01 单-共轭复数