本题导读
本题考查三角函数的图象与性质，以及函数图象的平移与伸缩变换。
📌【题干】
Question
（2021年乙卷理）把函数 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 的图像，则
A. B. C. D.
🔍【思路分析】
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本题考查 的图象变换规律。已知“源函数”经过一系列变换得到了“目标函数”，现在要求“源函数”。
应对这种题型，有两种经典思路：
逆向变换法（推荐）：像倒带一样，把目标函数 按照相反的顺序、相反的操作变回 。
正向步骤 2 是“向右平移 ”，逆向就是“向左平移 ”。
正向步骤 1 是“横坐标缩短到 倍”，逆向就是“横坐标伸长到 2 倍”。
正向代入法（易错）：设源函数就是 ，严格按照规则“缩短到 倍 ”，“向右平移 ”，令其等于 ，再进行换元解出 。
✅【答案】
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B
✍【详细解析】
Abstract
解析（逆向变换法）
已知最终的函数解析式为：。
我们按照题目变换的相反顺序进行“倒推”：
第一步：逆向处理“平移变换”
题目最后一步是“向右平移 个单位长度”得到现函数。
逆操作为：将 的图象向左平移 个单位长度。
根据“左加右减”原则，我们将式子中的 替换为 ：
。
第二步：逆向处理“伸缩变换”
题目的第一步是“横坐标缩短到原来的 倍”。
逆操作为：把图象上所有点的横坐标扩大为原来的 2 倍（纵坐标不变）。
根据周期伸缩法则，横坐标扩大为 2 倍，即自变量的系数要变为原来的 。将式子中的 替换为 （或者写成 ）：
。
这即为原函数 的解析式。
故选：B．
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
核心心法（左加右减，对象唯 ）：
在进行平移变换时，无论是 还是伸缩变换 ，所有的操作只针对单独的自变量 本身。例如： 向右平移 ，得到的是 ，而不是 ！这是无数学子折戟的陷阱。
第二解法（正向操作与换元）：
如果不习惯逆向思考，可采用正向法：
。
令 。
设 ，则 。
代入右边：。
两种方法殊途同归，但逆向变换法显然计算量更小、更直观。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源：待补
结论推广：待补
🔗【关联脉络】
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