2021-乙卷理-08 单-几何概型

本题导读

本题考查几何概型，以及对立事件。

📌【题干】

Question

（2021年乙卷理）在区间 $(0,1)$ 与 $(1,2)$ 中各随机取 1 个数，则两数之和大于 $\frac{7}{4}$ 的概率为（　　）

A. $\frac{7}{9}$　　　　　　B. $\frac{23}{32}$　　　　　　C. $\frac{9}{32}$　　　　　　D. $\frac{2}{9}$

🔍【思路分析】

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1. 识别模型：题目中说在连续的区间内“随机取数”，这意味着样本点有无限多个，属于典型的几何概型。两个变量构成了二维平面上的一个区域，概率即为面积之比。

2. 构建样本空间：设从 $(0,1)$ 中取的数为 $x$，从 $(1,2)$ 中取的数为 $y$，则所有的可能结果构成的区域 $\Omega$ 是一个边长为 1 的正方形：$0<x<1$ 且 $1<y<2$。

3. 确定目标区域：所求事件 $A$ 的区域为 $x+y>\frac{7}{4}$。

4. 计算策略（正难则反）：直线 $x+y=\frac{7}{4}$ 将正方形切成了两部分。大于 $\frac{7}{4}$ 的部分是一个五边形（计算较繁琐），而小于 $\frac{7}{4}$ 的部分是一个直角三角形（计算极简）。因此，优先计算对立事件的概率，再用 $1$ 减去该概率即可。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

设在区间 $(0,1)$ 中取出的数为 $x$，在区间 $(1,2)$ 中取出的数为 $y$。

第一步：求总样本空间的面积

所有的基本事件构成的集合（可行域）为 $\Omega =\{(x,y)\mid 0<x<1,1<y<2\}$。

这是一个在平面直角坐标系中的正方形，其边长为 $1$，

故总样本空间的面积 $S_{\Omega }=1\times 1=1$。

第二步：求对立事件区域的面积

设事件 $A$ 为“两数之和大于 $\frac{7}{4}$”，即 $x+y>\frac{7}{4}$。

我们考虑其对立事件 $\bar{A}$：“两数之和小于或等于 $\frac{7}{4}$”，即 $x+y\le \frac{7}{4}$。

画出直线 $l:x+y=\frac{7}{4}$。我们寻找它与正方形边界的交点：

• 令 $y=1$（正方形下边界），解得 $x=\frac{3}{4}$。交点为 $M(\frac{3}{4},1)$。

• 令 $x=0$（正方形左边界），解得 $y=\frac{7}{4}$。交点为 $N(0,\frac{7}{4})$。

在正方形 $\Omega$ 内，满足 $x+y\le \frac{7}{4}$ 的区域是由点 $(0,1)$, $M(\frac{3}{4},1)$, $N(0,\frac{7}{4})$ 围成的直角三角形区域。

该直角三角形的两条直角边长分别为：

水平直角边长 = $\frac{3}{4}-0=\frac{3}{4}$

铅直直角边长 = $\frac{7}{4}-1=\frac{3}{4}$

因此，该三角形的面积 $S_{\bar{A}}=\frac{1}{2}\times \frac{3}{4}\times \frac{3}{4}=\frac{9}{32}$。

第三步：计算最终概率

根据几何概型的概率公式，对立事件发生的概率为：

$P(\bar{A})=\frac{S_{\bar{A}}}{S_{\Omega }}=\frac{\frac{9}{32}}{1}=\frac{9}{32}$

则所求事件 $A$ 的概率为：

$P(A)=1-P(\bar{A})=1-\frac{9}{32}=\frac{23}{32}$。

故选：B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧（连续到几何的转化）：凡是遇到在某区间内“任取”、“随机取”一个或多个实数求概率的问题，条件反射地建立坐标系，将代数不等式转化为平面图形的面积比（或线段的长度比、立体的体积比）。

• 避坑指南（割补法与对立事件）：

  1. 画图时，一定要精准找到边界直线与可行域（本题中是正方形）的交点。交点找错，图形全错。

  2. 当发现目标区域形状不规则（如梯形、五边形）时，强烈建议抬头看看它的“反面”是不是更容易计算（如三角形）。“正难则反”不仅能降低运算量，还能极大降低算错的风险。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2008-山东卷文-18 解-志愿者选取概率
• 2008-浙江卷文-19 解-摸球古典概型
• 2008-湖北卷文-14 填-独立事件至少一个