2021-北京卷-05 单-双曲线性质

本题导读

本题考查双曲线的几何性质，以及双曲线的标准方程。

📌【题干】

Question

（2021年北京卷）双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 过点 $(\sqrt{2},\sqrt{3})$，且离心率为 $2$，则该双曲线的标准方程为（\quad）

A. $x^2-\frac{y^2}{3}=1$　　　　　　　　　　　　　　B. $\frac{x^2}{3}-y^2=1$

C. $x^2-\frac{\sqrt{3}{y}^2}{3}=1$　　　　　　　　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{3}{x}^2}{3}-y^2=1$

🔍【思路分析】

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识别问题类型：本题考查利用双曲线的几何性质（离心率）和已知过定点来求解其标准方程。

已知条件转化：

1. 离心率 $e=2$，利用 $e=\frac{c}{a}$ 可以得到 $c$ 和 $a$ 的比例关系。

2. 结合双曲线中 $c^2=a^2+b^2$ 的隐含条件，可以将 $b$ 用 $a$ 表示出来，从而将双曲线方程化为只含一个未知数 $a$ 的形式。

   确定求解策略：将已知点 $(\sqrt{2},\sqrt{3})$ 代入化简后的方程中，求出参数 $a^2$ 的值，进而得到 $b^2$ 的值，写出标准方程即可。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：利用离心率转化 $a,b,c$ 的关系

已知双曲线的离心率 $e=\frac{c}{a}=2$，

解得：$c=2a$。

在双曲线中，基本量的关系为 $c^2=a^2+b^2$。

将 $c=2a$ 代入可得：

$(2a{)}^2=a^2+b^2$

$4a^2=a^2+b^2$

$b^2=3a^2$

（或者写成 $b=\sqrt{3}a$）。

第二步：设定单参数双曲线方程

将 $b^2=3a^2$ 代入原双曲线方程 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 中，

得到只含参数 $a$ 的方程：

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{3a^2}=1$。

第三步：代入已知点求解

因为双曲线过点 $(\sqrt{2},\sqrt{3})$，将其横纵坐标代入上述方程：

$\frac{(\sqrt{2}{)}^2}{a^2}-\frac{(\sqrt{3}{)}^2}{3a^2}=1$

$\frac{2}{a^2}-\frac{3}{3a^2}=1$

$\frac{2}{a^2}-\frac{1}{a^2}=1$

$\frac{1}{a^2}=1$

解得：$a^2=1$。

第四步：写出标准方程

因为 $a^2=1$，且前面得到 $b^2=3a^2$，

所以 $b^2=3\times 1=3$。

将 $a^2=1$ 和 $b^2=3$ 代入双曲线标准形式，得到：

$\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{3}=1$，即 $x^2-\frac{y^2}{3}=1$。

结论：对应选项 A 正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的基本量 $a,b,c$ 之间的关系 $c^2=a^2+b^2$ 以及离心率公式 $e=\frac{c}{a}$。

方法提炼（待定系数法）：在求圆锥曲线方程时，如果已知离心率或渐近线方程，通常可以先确定 $a$ 和 $b$ 的比例关系，将双曲线方程设为 $\frac{x^2}{m}-\frac{y^2}{n}=1$ 的形式（减少未知数的个数），再利用“过某一点”的条件建立方程，解出参数。

易错点提醒：注意双曲线中是 $c^2=a^2+b^2$，而椭圆中是 $a^2=b^2+c^2$（其中 $a$ 最大）。不要将两者的基本量关系记混。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-广东卷理-07 单-双曲线方程
• 2013-湖北卷理-05 单-双曲线方程
• 2013-陕西卷理-11 填-双曲线方程