2021-北京卷-12 填-抛物线焦点弦

本题导读

本题考查抛物线的定义及标准方程，以及焦半径公式。

📌【题干】

Question

（2021年北京卷）已知抛物线 $C:y^2=4x$，焦点为 $F$，点 $M$ 为抛物线 $C$ 上的点，且 $|FM|=6$，则 $M$ 的横坐标是__________；作 $MN\perp x$ 轴于 $N$，则 $S_{△FMN}=$__________．

🔍【思路分析】

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识别问题类型：本题考查抛物线的基本性质，特别是焦点坐标、准线方程以及“焦半径公式”的应用。

求解策略：

1. 第一空：根据抛物线标准方程 $y^2=2px$ 确定参数 $p$ 的值。利用抛物线的焦半径公式 $|FM|=x_M+\frac{p}{2}$，直接代入已知长度即可解出点 $M$ 的横坐标 $x_M$。

2. 第二空：将 $x_M$ 代入抛物线方程求出 $M$ 的纵坐标 $y_M$。根据题意分析 $△FMN$ 的几何特征：因为 $MN\perp x$ 轴，所以 $△FMN$ 是一个直角三角形。求出直角边 $FN$ 和 $MN$ 的长度，利用三角形面积公式即可求解。

✅【答案】

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① $5$

② $4\sqrt{5}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：提取抛物线基本信息

已知抛物线方程为 $C:y^2=4x$。

对比标准方程 $y^2=2px$，可知 $2p=4$，即 $p=2$。

由此可得，焦点 $F$ 的坐标为 $(\frac{p}{2},0)$，即 $F(1,0)$。准线方程为 $x=-1$。

第二步：利用焦半径公式求 $M$ 的横坐标

设点 $M$ 的坐标为 $(x_M,y_M)$。

根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离。

即焦半径公式：$|FM|=x_M-(-\frac{p}{2})=x_M+\frac{p}{2}$。

已知 $|FM|=6$，$p=2$，代入公式得：

$x_M+1=6$

解得：$x_M=5$。

所以，$M$ 的横坐标为 $5$。

第三步：求点 $M$ 和点 $N$ 的坐标

将 $x_M=5$ 代入抛物线方程 $y^2=4x$，得 $y_M^2=20$。

解得：$y_M=\pm 2\sqrt{5}$。

因为作 $MN\perp x$ 轴于 $N$，所以点 $N$ 是点 $M$ 在 $x$ 轴上的投影。

点 $N$ 的坐标为 $(x_M,0)$，即 $N(5,0)$。

第四步：计算 $△FMN$ 的面积

在 $△FMN$ 中，因为 $MN\perp x$ 轴，所以 $△FMN$ 是以 $\angle FNM=90^{\circ }$ 为直角的直角三角形。

其两条直角边长分别为：

底边长 $|FN|=|x_N-x_F|=|5-1|=4$；

高长 $|MN|=|y_M-y_N|=|\pm 2\sqrt{5}-0|=2\sqrt{5}$。

所以，$△FMN$ 的面积为：

$S_{△FMN}=\frac{1}{2}\cdot |FN|\cdot |MN|=\frac{1}{2}\times 4\times 2\sqrt{5}=4\sqrt{5}$。

结论：填空①为 $5$，填空②为 $4\sqrt{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：

1. 抛物线的定义与焦半径公式：抛物线上任意一点 $P(x_0,y_0)$ 到焦点 $F$ 的距离 $|PF|=x_0+\frac{p}{2}$（对于 $y^2=2px,p>0$ 的情况）。这是解决抛物线距离问题的首选方法，能有效避免复杂的两点间距离公式的根号运算。

2. 直角三角形面积转化：熟练将几何点的坐标转化为线段长度。$|MN|$ 即为点 $M$ 纵坐标的绝对值，$|FN|$ 为横坐标之差的绝对值。

   易错点提醒：

   在求 $y_M$ 时，会得出两个值 $\pm 2\sqrt{5}$，代表点 $M$ 可能在第一象限也可能在第四象限。但在计算三角形面积时，高 $|MN|$ 必须取绝对值（距离恒为正），有些同学可能会对这里的正负号产生短暂的犹豫，需牢记几何长度非负的原则。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 11.04 三角形面积公式

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-10 单-抛物线定义
• 2008-四川卷理-12
• 2008-广东卷文-20 解-椭圆抛物线切线与存在性