2021-新高考I卷-16 填-数列求和应用

本题导读

本题考查数学建模与归纳推理，以及数列通项公式的建立。

📌【题干】

Question

（2021年新高考I卷）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为 $20\text{dm}\times 12\text{dm}$ 的长方形纸，对折 1 次共可以得到 $10\text{dm}\times 12\text{dm}$，$20\text{dm}\times 6\text{dm}$ 两种规格的图形，它们的面积之和 $S_1=240{\text{dm}}^2$；对折 2 次共可以得到 $5\text{dm}\times 12\text{dm}$，$10\text{dm}\times 6\text{dm}$，$20\text{dm}\times 3\text{dm}$ 三种规格的图形，它们的面积之和 $S_2=180{\text{dm}}^2$；以此类推．则对折 4 次共可以得到不同规格图形的种数为 $\underline{}$。；如果对折 $n$ 次， 那么 ${\sum }_{k=1}^n{S}_k=\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 归纳种数规律：观察对折次数与规格种数的关系：

• 对折 1 次 $\to$ 2 种；
• 对折 2 次 $\to$ 3 种；
• 归纳猜想：对折 $n$ 次 $\to$ $n+1$ 种。

2. 建立面积 $S_k$ 的表达式：

• 初始面积 $S_0=20\times 12=240$。
• 每次对折，图形面积减半。对折 $k$ 次后，每种规格的面积均为 $\frac{240}{2^k}$。
• 总面积之和 $S_k=\text{种数}\times \text{单体面积}=\frac{240(k+1)}{2^k}$。

3. 数列求和：观察 $S_k=240\cdot (k+1)\cdot (\frac{1}{2}{)}^k$，其通项结构为“等差 × 等比”，应使用错位相减法求其前 $n$ 项和。

✅【答案】

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5；$240(3-\frac{n+3}{2^n})$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定对折 4 次的规格种数 由已知条件：

• 对折 1 次：2 种规格；

• 对折 2 次：3 种规格； 通过归纳推理可知，对折 $n$ 次共有 $n+1$ 种不同规格。 当 $n=4$ 时，规格种数为 $4+1=5$。

第二步：求 $S_k$ 的通项公式 初始面积为 240。对折 $k$ 次后，图形被均分为 $2^k$ 份，故每种规格的面积均相同。 $S_k=(k+1)\cdot \frac{240}{2^k}=240\cdot \frac{k+1}{2^k}$。

第三步：利用错位相减法求和 设 $T_n={\sum }_{k=1}^n{S}_k=240\left(\frac{2}{2^1}+\frac{3}{2^2}+\frac{4}{2^3}+\cdots +\frac{n+1}{2^n}\right)$。 令 $W_n=\frac{2}{2^1}+\frac{3}{2^2}+\frac{4}{2^3}+\cdots +\frac{n+1}{2^n}$ ① 则 $\frac{1}{2}{W}_n=\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\cdots +\frac{n}{2^n}+\frac{n+1}{2^{n+1}}$ ② ① - ② 得： $\frac{1}{2}{W}_n=1+\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots +\frac{1}{2^n}\right)-\frac{n+1}{2^{n+1}}$ $\frac{1}{2}{W}_n=1+\frac{\frac{1}{4}(1-\frac{1}{2^{n-1}})}{1-\frac{1}{2}}-\frac{n+1}{2^{n+1}}$ $\frac{1}{2}{W}_n=1+\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2^{n-1}})-\frac{n+1}{2^{n+1}}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2^n}-\frac{n+1}{2^{n+1}}$ $\frac{1}{2}{W}_n=\frac{3}{2}-\frac{2+n+1}{2^{n+1}}=\frac{3}{2}-\frac{n+3}{2^{n+1}}$ 整理得：$W_n=3-\frac{n+3}{2^n}$。

第四步：得出最终结论 ${\sum }_{k=1}^n{S}_k=240\cdot W_n=240\left(3-\frac{n+3}{2^n}\right)$。

故答案为：5；$240(3-\frac{n+3}{2^n})$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 模型抽象能力：本题不仅考查计算，更考查从现实背景（剪纸）提取数列模型的能力。核心在于发现 $S_k$ 并非单张纸的面积，而是所有可能产生的规格面积的总和。
2. 错位相减法的规范性：

• 乘公比、错位相减、等比求和。
• 注意公式中 $n$ 的取值范围，以及最后一步系数 $\frac{1}{2}$ 的处理。

3. 避坑指南：

• 第一空容易因为想多而填错，只需跟随题目给出的 2, 3 递增规律即可。
• 在求和计算中，中间段项数（从 $2$ 到 $n$ 共 $n-1$ 项）是极易出错的地方，务必仔细核对。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 能力提升：如果题目要求求当 $n\to \infty$ 时，总面积之和的极限值是多少？ (提示：利用 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{n+3}{2^n}=0$，可知极限值为 $240\times 3=720$。)
• 变式思考：如果对折方式规定只能沿长边对折，那么 $n$ 次对折后的规格种数是多少？ (提示：此时只有一种规格，种数规律发生质变，数列退化为等比数列求和。)

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2000-广东卷理-18 解-等比数列的基本量计算
• 2008-江苏卷-10 填-三角形数阵
• 2014-四川卷文-19 解-等差等比数列