2021-新高考II卷-14 填-抽象函数性质

本题导读

本题考查幂函数的定义与性质，以及导数的运算及单调性应用。

📌【题干】

Question

（2021年新高考II卷）写出一个同时具有下列性质 ①②③ 的函数 $f(x)$：$\underline{}$。

① $f(x_1{x}_2)=f(x_1)f(x_2)$；

② 当 $x\in (0,+\infty )$ 时，$f^{\prime }(x)>0$；

③ $f^{\prime }(x)$ 是奇函数。

🔍【思路分析】

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1. 识别函数模型（性质 ①）：满足 $f(x_1{x}_2)=f(x_1)f(x_2)$ 的常见基本初等函数是幂函数 $f(x)=x^n$。

2. 分析单调性需求（性质 ②）：当 $x>0$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，意味着函数在正半轴单调递增。对于 $f(x)=x^n$，其导数 $f^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}$，要满足此条件，需 $n>0$。

3. 分析对称性要求（性质 ③）：若 $f^{\prime }(x)$ 是奇函数，则原函数 $f(x)$ 必为偶函数。对于 $f(x)=x^n$，要使其为偶函数，幂指数 $n$ 必须为正偶数。

4. 构造实例：取最小正偶数 $n=2$，即 $f(x)=x^2$ 进行验证。

✅【答案】

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$x^2$ （注：答案不唯一，$x^4,x^6\dots$ 等均可）

✍【详细解析】

Abstract

第一步：利用性质 ① 确定函数模型

满足抽象函数方程 $f(x_1{x}_2)=f(x_1)f(x_2)$ 的典型初等函数为幂函数 $f(x)=x^n$。

第二步：利用性质 ③ 约束参数 $n$

已知 $f^{\prime }(x)$ 是奇函数。根据导数与原函数奇偶性的对应关系：

• 偶函数的导数是奇函数；

• 奇函数的导数是偶函数。

因此，$f(x)$ 必须是一个偶函数。在幂函数 $f(x)=x^n$ 中，当 $n$ 为偶数时，$f(x)$ 为偶函数。

第三步：利用性质 ② 进一步校验

设 $f(x)=x^n$（$n$ 为偶数且 $n\in \mathbb{Z}$）。

其导函数为 $f^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}$。

由于 $n$ 是偶数，则 $n-1$ 是奇数。

若要满足当 $x\in (0,+\infty )$ 时 $f^{\prime }(x)>0$：

• 由于 $x^{n-1}>0$（当 $x>0$ 时），则系数 $n$ 必须大于 $0$。

• 因此，$n$ 必须为正偶数。

第四步：具体化与验证

取 $n=2$，即 $f(x)=x^2$：

1. 性质 ①：$f(x_1{x}_2)=(x_1{x}_2{)}^2=x_1^2{x}_2^2=f(x_1)f(x_2)$，符合；

2. 性质 ②：$f^{\prime }(x)=2x$，当 $x>0$ 时，$2x>0$，符合；

3. 性质 ③：$f^{\prime }(x)=2x$ 的定义域为 $\mathbb{R}$，且 $f^{\prime }(-x)=-2x=-f^{\prime }(x)$，是奇函数，符合。

故答案为：$x^2$ （注：答案不唯一，$x^4,x^6\dots$ 等均可）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心技巧：熟记四类抽象函数特征方程对应的初等函数模型：

• $f(x+y)=f(x)+f(y)⟹f(x)=kx$（正比例函数型）

• $f(x+y)=f(x)f(y)⟹f(x)=a^x$（指数函数型）

• $f(xy)=f(x)+f(y)⟹f(x)={\log }_{a}x$（对数函数型）

• $f(xy)=f(x)f(y)⟹f(x)=x^n$（幂函数型）

2. 规律总结：原函数与其导函数的奇偶性总是“相反”的（前提是定义域关于原点对称）。

3. 避坑指南：虽然常数函数 $f(x)=0$ 或 $f(x)=1$ 满足性质 ①，但性质 ② 要求导数严格大于 0，排除了常数函数的可能。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：如果将性质 ② 改为“当 $x\in (0,+\infty )$ 时，$f^{\prime }(x)<0$”，该如何构造？

(提示：此时 $n$ 需为负偶数，如 $f(x)=x^{-2}=\frac{1}{x^2}$)

• 能力提升：若要求 $f(x)$ 满足 $f(x+y)=f(x)f(y)$ 且 $f^{\prime }(x)$ 为奇函数，这样的函数是否存在？

(提示：指数函数 $a^x$ 的导数仍为指数型，不可能为奇函数，除非 $f(x)=0$ 但不满足单调性)

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-03 单-函数奇偶性

• 2014-江苏卷-19 解-函数奇偶性

• 2005-江西卷理-18 解-平面向量的数量积坐标运算