2021-浙江卷-06 单-空间位置关系

本题导读

本题考查正方体模型，以及空间中直线与平面的位置关系。

📌【题干】

Question

（2021年浙江卷）6. 如图已知正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$，$M$，$N$ 分别是 $A_{1}D$，$D_{1}B$ 的中点，则（ ）

A. 直线 $A_{1}D$ 与直线 $D_{1}B$ 垂直，直线 $MN\parallel$ 平面 $ABCD$

B. 直线 $A_{1}D$ 与直线 $D_{1}B$ 平行，直线 $MN\perp$ 平面 $BD{D}_1{B}_1$

C. 直线 $A_{1}D$ 与直线 $D_{1}B$ 相交，直线 $MN\parallel$ 平面 $ABCD$

D. 直线 $A_{1}D$ 与直线 $D_{1}B$ 异面，直线 $MN\perp$ 平面 $BD{D}_1{B}_1$

🔍【思路分析】

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处理这道题需要分两步去验证选项中的两个命题：

1. 关于 $MN$ 的位置关系： 看到中点找中点。连结 $A{D}_1$，因为 $M$ 是正方形侧面对角线 $A_{1}D$ 的中点，所以 $M$ 也是 $A{D}_1$ 的中点。在 $△A{D}_{1}B$ 中，$M,N$ 都是中点，立刻得到中位线 $MN\parallel AB$。进而推导 $MN$ 与相关平面的关系。
2. 关于 $A_{1}D$ 与 $D_{1}B$ 的关系： 显然这两条直线既不平行也不相交（不在同一个平面内），属于异面直线。判断它们是否垂直，通常需要把其中一条线证明垂直于另一条线所在的平面。这里可以利用正方体的性质证明 $A_{1}D\perp$ 平面 $AB{D}_1$。

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析 $MN$ 与平面 $ABCD$ 及平面 $BD{D}_1{B}_1$ 的关系 连结 $A{D}_1$。在正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，侧面 $A{A}_1{D}_{1}D$ 是正方形，其对角线互相平分。 因为 $M$ 是对角线 $A_{1}D$ 的中点，所以 $M$ 必然也是对角线 $A{D}_1$ 的中点。 在 $△A{D}_{1}B$ 中，已知 $N$ 是 $D_{1}B$ 的中点， 由三角形中位线定理可得：$MN\parallel AB$。

• 因为 $MN\not\subset$ 平面 $ABCD$，$AB\subset$ 平面 $ABCD$，所以 $MN\parallel$ 平面 $ABCD$。
• 因为 $AB$ 与 $BD$ 相交成 $45^{\circ }$ 角（不垂直），所以 $MN$ 也不垂直于 $BD$。因此 $MN$ 不可能垂直于包含 $BD$ 的对角面 $BD{D}_1{B}_1$。 由此排除 B、D 选项。

第二步：分析 $A_{1}D$ 与 $D_{1}B$ 的关系 很明显，$A_{1}D$ 在侧面 $A{A}_1{D}_{1}D$ 内，而 $D_{1}B$ 穿过正方体内部，两者不共面，为异面直线（排除 C 选项）。 接下来证明它们垂直：

• 在正方形 $A{A}_1{D}_{1}D$ 中，对角线互相垂直，即 $A_{1}D\perp A{D}_1$。
• 因为 $AB\perp$ 侧面 $A{A}_1{D}_{1}D$，且 $A_{1}D\subset$ 侧面 $A{A}_1{D}_{1}D$，所以 $AB\perp A_{1}D$。
• 因为 $A{D}_1\cap AB=A$，根据线面垂直的判定定理，$A_{1}D\perp$ 平面 $AB{D}_1$。 又因为 $D_{1}B\subset$ 平面 $AB{D}_1$，由线面垂直的性质定理可得：$A_{1}D\perp D_{1}B$。

综上所述，直线 $A_{1}D$ 与直线 $D_{1}B$（异面）垂直，直线 $MN\parallel$ 平面 $ABCD$。 故选 A。

✅【答案】

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A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 立体几何里的“天降神兵”——三角形中位线： 题目已知条件里只要出现了两个或多个“中点”，第一反应就是去构造三角形，连结另外的点凑出中位线。这是证明平行关系最快、最有效的方法。
• “线线垂直”的化繁为简： 在空间中证明两条异面直线垂直，极少去平移它们找夹角，而是**“升维”**：证明其中一条直线垂直于另一条直线所在的平面。只要线面垂直了，面里所有的线自然就和它垂直了。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.06 正方体的性质
• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 1992-全国卷理-26
• 2006-重庆卷理-04 单-异面垂直与线面垂直的性质
• 2007-天津卷理-06 单-空间中平面平面位置关系