2007-天津卷理-06 单-空间中平面平面位置关系

本题导读

本题考查立体几何中空间线面、面面平行与垂直的判定定理和性质定理。要求学生具备良好的空间想象能力，能够熟练运用正方体等经典空间几何模型构造反例。

📌【题干】

Question

（2007年天津卷(理)） 设 $a,b$ 为两条直线，$\alpha ,\beta$ 为两个平面. 下列四个命题中，正确的命题是()

A. 若 $a,b$ 与 $\alpha$ 所成的角相等，则 $a\parallel b$　　B. 若 $a\parallel \alpha ,b\parallel \beta ,\alpha \parallel \beta$，则 $a\parallel b$

C. 若 $a\subset \alpha ,b\subset \beta ,a\parallel b$，则 $\alpha \parallel \beta$　　　　　　　　D. 若 $a\perp \alpha ,b\perp \beta ,\alpha \perp \beta$，则 $a\perp b$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 对于 A、B、C，尝试在空间中（如正方体模型内）寻找反例，若能找到使条件成立但结论失败的图形，则为假命题；
2. 对于 D，利用线面垂直的性质定理以及二面角的几何意义进行定性判定。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解： 对于 (A)：在正方体中，同一平面内两条相交且关于某直线的垂线对称的直线，或者空间中的异面直线，它们与底面所成的角都可以相等，不一定平行，故 (A) 错误； 对于 (B)：若 $\alpha \parallel \beta$。设直线 $a$ 在平面 $\alpha$ 内，直线 $b$ 在平面 $\beta$ 内，此时满足 $a\parallel \alpha$（内含特殊情况）且 $b\parallel \beta$，但 $a$ 与 $b$ 可以是异面直线或相交直线，不一定平行，故 (B) 错误； 对于 (C)：若两个平面 $\alpha$ 与 $\beta$ 相交，在其交线上取一条直线，分别在两平面内作该交线的平行线 $a$ 和 $b$，此时满足 $a\parallel b$，但 $\alpha$ 与 $\beta$ 相交，故 (C) 错误； 对于 (D)：因为 $a\perp \alpha$，所以直线 $a$ 的方向向量 ${\vec{\mathbf{u}}}_a$ 是平面 $\alpha$ 的法向量；因为 $b\perp \beta$，所以直线 $b$ 的方向向量 ${\vec{\mathbf{u}}}_b$ 是平面 $\beta$ 的法向量。 又因为 $\alpha \perp \beta$，所以两平面的法向量互相垂直，即 ${\vec{\mathbf{u}}}_a\cdot {\vec{\mathbf{u}}}_b=0$。 从而可得直线 $a$ 与直线 $b$ 互相垂直，即 $a\perp b$，故 (D) 正确。 故选 (D)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间线面平行、垂直的判定与性质。
2. 核心方法：模型反例法。正方体模型是检验空间线面关系命题真伪的最有效工具。
3. 避坑指南：

• 区分“直线在平面外”与“直线与平面平行”，注意直线可能在平面内的极端情况（如 B 选项）。
• 牢记线面垂直的法向量化思想，能把抽象的空间位置判定降维成向量数量积的计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于高考常考的空间位置关系辨析立体几何选择题，直接改编自教材中关于空间向量、二面角以及立体几何性质定理的内容。
2. 结论推广：若两直线分别垂直于两个互相垂直的平面，则这两直线必互相垂直；若两直线分别平行于两个互相垂直的平面的法向量，则这两直线亦互相垂直。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷理-06 单-椭圆定义与性质
• 2018-全国卷III理-09 单-三角形面积