2021-浙江卷-12 填-分段函数求值

本题导读

本题考查分段函数，以及函数求值。

📌【题干】

Question

（2021年浙江卷）12. 已知 $a\in \mathbf{R}$，函数

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-4,& x>2\\ |x-3|+a,& x\le 2\end{array}$$

若 $f[f(\sqrt{6})]=3$，则 a =$$\underline{\quad\quad\quad}.

🔍【思路分析】

破题导航

本题考查分段函数的复合求值问题。 解题口诀是**“由内向外，层层剥开；先看范围，再代解析式”**。

1. 第一步： 先求最内层的 $f(\sqrt{6})$。判断 $\sqrt{6}$ 与区间分界点 $2$ 的大小关系（因为 $\sqrt{6}>\sqrt{4}=2$），选择对应的一段解析式进行计算。
2. 第二步： 把上一步算出来的结果作为新的自变量，再次判断它与分界点 $2$ 的大小关系，代入对应的解析式。
3. 第三步： 令最终的表达式等于 $3$，解一元一次方程求出参数 $a$。

✍【详细解析】

Abstract

首先计算内层函数值 $f(\sqrt{6})$： 因为 $\sqrt{6}>2$，所以需代入第一段（上半支）解析式 $f(x)=x^2-4$。 $f(\sqrt{6})=(\sqrt{6}{)}^2-4=6-4=2$

接下来计算外层函数值 $f[f(\sqrt{6})]$，也就是将上一层的结果 $2$ 代入，即计算 $f(2)$： 因为 $2\le 2$，所以需代入第二段（下半支）解析式 $f(x)=|x-3|+a$。 $f(2)=|2-3|+a=|-1|+a=1+a$

根据已知条件 $f[f(\sqrt{6})]=3$，可得方程： $1+a=3$ 解得：$a=2$。

故答案为：$2$。

✅【答案】

点击查看答案

$2$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 无理数估算： 遇到 $\sqrt{6}$、${\log }_{2}3$ 这类无理数，第一步是找相邻的完全平方数或整数次幂进行估算（如 $\sqrt{4}<\sqrt{6}<\sqrt{9}$），从而准确判断自变量落在哪一个区间。
• 分界点的归属： 注意不等号是否带有等号。本题中 $x\le 2$ 包含了 $x=2$ 这个点，所以算 $f(2)$ 时必须严格代入包含等号的那一段解析式。这是分段函数最容易因为粗心而失分的陷阱。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1998-上海文-08 填-分段函数的最值

• 2002-上海卷文-20 解-优惠率分段函数应用
• 2000-大纲文-21 解-分段函数的纯收益最值