2021-甲卷文-15 填-三角函数图象

本题导读

本题考查三角函数的图象与性质，以及由局部图象求解析式。

📌【题干】

Question

（2021年甲卷文）已知函数 $f(x)=2\cos (\omega x+\phi )$ 的部分图象如图所示，则 $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=$ _____.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据图象求出周期 $T$，进而求出 $\omega$。
2. 利用特殊点坐标代入求出初相 $\phi$，确定 $f(x)$ 的解析式。
3. 代入自变量 $x=\frac{\pi }{2}$ 求出对应函数值。

✅【答案】

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$1$

✍【详细解析】

Abstract

由图象可知，相邻两个波峰的横坐标差为半个周期 $\frac{T}{2}=\frac{13\pi }{12}-\frac{\pi }{3}=\frac{3\pi }{4}$，故周期 $T=\frac{3\pi }{2}$。 因此 $\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{4}{3}$。 由图知，当 $x=\frac{13\pi }{12}$ 时取得最大值 $2$，结合相位平移可得函数解析式为 $f(x)=2\cos \left(\frac{4}{3}x-\frac{\pi }{3}\right)$。 当 $x=\frac{\pi }{2}$ 时： $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=2\cos \left(\frac{4}{3}\times \frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{3}\right)=2\cos \left(\frac{2\pi }{3}-\frac{\pi }{3}\right)=2\cos \left(\frac{\pi }{3}\right)=2\times \frac{1}{2}=1$。 故答案为：$1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：由三角函数图象求解析式、三角函数求值。
2. 核心方法：通过相邻极值点或零点坐标求周期 $\omega$，再代入最高点坐标定初相 $\phi$。
3. 避坑指南：识图时务必看清横坐标标注对应的特殊点，避免参数计算偏差。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：三角函数图象与性质的高考核心题型。
2. 结论推广：形如 $y=A\cos (\omega x+\phi )$ 的图象问题，核心是“定周、定相、定幅”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2015-湖北卷理-17 解-五点法作图
• 2012年山东卷理-5
• 2014-新课标I卷理-06 单-三角函数的图象