本题导读
本题考查绝对值函数的图象。核心在于零点分段法、数形结合法的灵活运用。
📌【题干】
Question
（2021年甲卷理）已知函数 ，．
（1）画出 和 的图象；
（2）若 ，求 的取值范围．
🔍【思路分析】
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第一问（分段作图）：
寻找零点：找出绝对值符号内部为零的点，对于 是 ；对于 是 和 。
去绝对值：利用零点将定义域分段，分别判断每段内绝对值内部符号，去绝对值化简为一次函数或常数。
绘制图象：在坐标系中画出折线图。
第二问（数形结合求参）：
几何意义转化： 在几何上意味着，将 的图象向左或向右平移 个单位后，得到的新图象始终位于 图象的上方（或与其相交）。
锁定临界点：观察 的图象特征，其最高点所在的平线段右端点为 。因为 是一个开口向上的 型折线，要使其完全包住 ，其右侧射线必须“盖住”点 。
代数计算：利用临界点坐标代入 的右侧射线方程，解出 的不等式。
✅【答案】
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(1) 图象特征及分段解析见解析
(2)
✍【详细解析】
Abstract
（1）画出 和 的图象
1. 分段化简 ：
函数 只有一个零点 。
其图象是以 为顶点，开口向上的 型折线．
2. 分段化简 ：
函数 有两个零点 和 。
分三段进行讨论：
当 时：，
当 时：，
当 时：，
综合得到分段函数：
其图象是一条呈“Z”字型上升的连续折线，在 段斜率为 ，两端为水平射线．
（2）求 的取值范围
1. 分析图象平移与位置关系：
条件 等价于函数 的图象始终不在 的图象下方．
函数 的图象是将 的图象沿 轴平移得到的，其顶点为 ，左右两支射线的斜率分别为 和 ．
2. 寻找临界约束点：
观察 的图象：其最大值为 ，且在 时恒取最大值 ．
为了让开口向上的 型函数 能够“盖住”整个 ：
的最低点为 ，而 在 上为 ，所以在 这一段，必须由 递增的“右臂”（方程为 ）来覆盖．
临界卡点就在 达到最高的起始点，即 ．
3. 建立并求解不等式：
只要 的右臂在 处的值不小于 ，且其顶点坐标在 的左侧，就能确保全面覆盖。
即要求在 处：
且右臂对应 ，代入得：
解得：
(验证左臂情况：当 时，顶点 。此时 在 均处于右臂上升段，斜率为 1。而 在该段斜率为 4，从左向右看 追赶 ，在 处 满足，说明整段满足覆盖)
结论：
的取值范围为 ．
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
核心技巧：
零点分段法：绘制绝对值函数图象的不二法门，熟练掌握“内侧函数为斜率和、外侧函数为定值”的规律。
数形结合法：在处理 时，将代数方程转化为几何中“V型折线罩住阶梯折线”的画面，通过寻找决定性的高点（即 ），能瞬间化繁为简。
避坑指南：单纯用代数法分段去解 会极其繁琐，且极易在无穷多个区间的交并运算中漏解。此类问题一旦涉及“恒成立”，画草图是唯一的“解药”。
📖【试题探源与推广】
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试题探源：待补
结论推广：待补
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