2022-上海卷-02 填-双曲线实轴

本题导读

本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的几何性质。

📌【题干】

Question

（2022年上海卷） 双曲线 $\frac{x^2}{9}-y^2=1$ 的实轴长为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 识别方程：观察已知的双曲线方程，确认其为焦点在 $x$ 轴上的标准形式。

2. 提取参数：对比双曲线的标准方程 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$，找出 $a^2$ 的值，进而求出半实轴长 $a$。

3. 计算结果：根据双曲线的性质，代入实轴长公式 $2a$ 即可得出答案。

✅【答案】

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$6$

✍【详细解析】

Abstract

解析过程：

已知双曲线的方程为：

$\frac{x^2}{9}-y^2=1$

将其与焦点在 $x$ 轴上的双曲线标准方程 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 进行对比，可以得出：

$a^2=9$

因为 $a>0$，对 $9$ 开平方得：

$a=3$

根据双曲线的几何性质，实轴的长度为 $2a$，因此：

$\text{实轴长}=2a=2\times 3=6$

故答案为：$6$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心公式/概念：

  • 双曲线的标准方程（焦点在 $x$ 轴）：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$。

  • 基本量关系：实轴长为 $2a$，虚轴长为 $2b$，焦距为 $2c$，且满足 $c^2=a^2+b^2$。

• 试题评价：本题直接考查了双曲线的基础几何性质（方程与基本量的对应关系），没有设置任何陷阱，属于典型的基础送分题。

• 易错提醒：

  • 容易混淆 $a^2$ 和 $a$ 的值，导致直接将 $9$ 误认为 $a$。

  • 审题需仔细，注意题目问的是“实轴长”（$2a$）还是“半实轴长”（$a$），切忌求出 $a=3$ 后直接填入答案。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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• 2013-广东卷理-07 单-双曲线方程
• 2013-湖北卷理-05 单-双曲线方程
• 2013-陕西卷理-11 填-双曲线方程